Poprawna odpowiedź: A — \(\angle SAO\)

Sposób 1 — definicja kąta między prostą a płaszczyzną

Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny to kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę.

Żeby znaleźć kąt nachylenia krawędzi \(SA\) do płaszczyzny \(ABCD\):

Krok 1: Znajdź rzut prostokątny punktu S na płaszczyznę podstawy.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny — podstawa \(ABCD\) to kwadrat, a wierzchołek \(S\) leży dokładnie nad środkiem podstawy. Oznaczmy ten środek jako \(O\).

\[O = \text{środek kwadratu } ABCD\]

Zatem rzut prostokątny \(S\) na płaszczyznę \(ABCD\) to właśnie punkt \(O\).

Krok 2: Wyznacz rzut prostokątny prostej SA na płaszczyznę.

Rzut prostokątny odcinka \(SA\) na płaszczyznę \(ABCD\) to odcinek łączący rzut punktu \(S\) (czyli \(O\)) z punktem \(A\) (który już leży w płaszczyźnie):

\[\text{rzut } SA \text{ na płaszczyznę } ABCD = \text{odcinek } OA\]

Krok 3: Kąt nachylenia = kąt między SA a jej rzutem OA.

Kąt między krawędzią \(SA\) a odcinkiem \(OA\) to:

\[\boxed{\angle SAO}\]

Jest to kąt przy wierzchołku \(A\) w trójkącie \(SAO\) (prostokątnym, z kątem prostym przy \(O\), bo \(SO \perp\) płaszczyzna \(ABCD\)).

Odpowiedź: A

Sposób 2 — weryfikacja przez trójkąt prostokątny SAO

Sprawdźmy, że trójkąt \(SAO\) rzeczywiście daje nam szukany kąt.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym:

\(SO \perp ABCD\), więc \(SO \perp OA\) → kąt przy \(O\) wynosi \(90°\)
\(|OA|\) = połowa przekątnej kwadratu = rzut \(SA\) na płaszczyznę
\(|SO|\) = wysokość ostrosłupa = składowa prostopadła do płaszczyzny

Kąt nachylenia \(SA\) do płaszczyzny to:

\[\angle SAO = \operatorname{arctg}\frac{|SO|}{|OA|}\]

Kąt ten jest zawarty między krawędzią boczną \(SA\) a jej rzutem \(OA\) na płaszczyznę podstawy — co potwierdza odpowiedź A.

Wzory z karty CKE

Dział 10 (Planimetria, s. 15) — definicja kąta nachylenia prostej do płaszczyzny nie figuruje wprost jako wzór na karcie, ale opiera się na twierdzeniu Pitagorasa i definicjach funkcji trygonometrycznych:

\[\operatorname{tg}(\angle SAO) = \frac{|SO|}{|OA|}\]

Dział 9 (Trygonometria, s. 11) — definicja tangensa w trójkącie prostokątnym: \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\text{przeciwprostokątna}}{\text{przyprostokątna przyległa}}\]

W zadaniach obliczeniowych (gdzie podane są wymiary ostrosłupa) używasz dokładnie tego wzoru do wyznaczenia miary kąta.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Kąt	Błąd
B	\(\angle SAB\)	To kąt między krawędzią boczną \(SA\) a krawędzią podstawy \(AB\) — nie ma nic wspólnego z rzutem \(SA\) na płaszczyznę. To kąt w trójkącie \(SAB\), nie kąt nachylenia do płaszczyzny.
C	\(\angle SOA\)	To kąt przy O w trójkącie \(SOA\) — wynosi dokładnie \(90°\), bo \(SO \perp ABCD\). To kąt prosty między wysokością a rzutem, nie szukany kąt nachylenia.
D	\(\angle ASB\)	To kąt przy wierzchołku \(S\) — kąt między dwiema krawędziami bocznymi. Nie opisuje nachylenia do płaszczyzny.

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny to kąt przy dolnym końcu prostej (przy punkcie leżącym w płaszczyźnie), nie przy górnym! Tutaj — kąt przy \(A\), nie przy \(S\).

⚠️ Uwaga: Rzut prostokątny wierzchołka \(S\) to środek \(O\) kwadratu — nie środek boku \(AB\)! Wielu uczniów myli środek kwadratu ze środkiem krawędzi podstawy.

⚠️ Uwaga: \(\angle SOA = 90°\) — to kąt prosty (między wysokością \(SO\) a rzutem \(OA\)), który pojawia się w odpowiedzi C. To właśnie dlatego trójkąt \(SAO\) jest prostokątny i możemy użyć tangensu.

Matura 2020 - Kwietniowa