Poprawna odpowiedź: C (54)

Sposób 1 — równoległobok (wektory/geometria)

Oznaczymy boki prostokąta: \(|AB| = a\), \(|AD| = b\), gdzie \(a \cdot b = 90\).

Wyznaczamy położenie punktów P i R.

Warunek \(\dfrac{|AP|}{|PB|} = \dfrac{3}{2}\) oznacza, że P dzieli AB w stosunku \(3 : 2\) od strony A: \[|AP| = \frac{3}{3+2} \cdot a = \frac{3a}{5}, \qquad |PB| = \frac{2a}{5}\]

Warunek \(\dfrac{|CR|}{|RD|} = \dfrac{3}{2}\) oznacza, że R dzieli CD w stosunku \(3 : 2\) od strony C. Ponieważ \(|CD| = a\): \[|CR| = \frac{3a}{5}, \qquad |RD| = \frac{2a}{5}\]

Wprowadzamy układ współrzędnych: \(A = (0,0)\), \(B = (a, 0)\), \(C = (a, b)\), \(D = (0, b)\).

Stąd: \[P = \left(\frac{3a}{5},\ 0\right), \qquad R = \left(a - \frac{3a}{5},\ b\right) = \left(\frac{2a}{5},\ b\right)\]

Sprawdzamy, czy APCR jest równoległobokiem. Porównujemy wektory: \[\vec{AR} = \left[\frac{2a}{5},\ b\right], \qquad \vec{PC} = \left[a - \frac{3a}{5},\ b - 0\right] = \left[\frac{2a}{5},\ b\right]\]

Wektory \(\vec{AR} = \vec{PC}\) — APCR to równoległobok (bok \(AR \parallel PC\) i \(|AR| = |PC|\)).

Liczymy pole: \[P_{APCR} = |AP| \cdot h = \frac{3a}{5} \cdot b = \frac{3ab}{5} = \frac{3 \cdot 90}{5} = \boxed{54}\]

Sposób 2 — odejmowanie trójkątów od prostokąta

Czworokąt APCR to prostokąt ABCD minus dwa trójkąty prostokątne z rogów: \(\triangle PBC\) i \(\triangle ARD\).

Trójkąt PBC (kąt prosty przy B):

ramiona: \(|PB| = \dfrac{2a}{5}\) oraz \(|BC| = b\) \[P_{\triangle PBC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{5} \cdot b = \frac{ab}{5} = \frac{90}{5} = 18\]

Trójkąt ARD (kąt prosty przy D):

ramiona: \(|RD| = \dfrac{2a}{5}\) oraz \(|AD| = b\) \[P_{\triangle ARD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{5} \cdot b = \frac{ab}{5} = \frac{90}{5} = 18\]

Pole czworokąta APCR: \[P_{APCR} = 90 - 18 - 18 = \boxed{54}\]

Wzory z karty CKE

Dział 12 (Stereometria) / Dział 10 (Planimetria, s. 20–21) — pole równoległoboku: \[P = a \cdot h\] Użyliśmy w Sposobie 1: APCR jest równoległobokiem z podstawą \(\dfrac{3a}{5}\) i wysokością \(b\).

Dział 10 (Planimetria, s. 15) — pole trójkąta: \[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\] Użyliśmy w Sposobie 2 do policzenia pól trójkątów \(\triangle PBC\) i \(\triangle ARD\).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Błąd
A (36)	Zamieniono stosunek — uczeń oblicza \(\\|AP\\| = \tfrac{2}{5}a\) zamiast \(\tfrac{3}{5}a\) (bierze "2" z licznika zamiast "3"). Wtedy od prostokąta odejmuje się dwa trójkąty o łącznym polu 54, co daje \(90 - 54 = 36\).
B (40)	Błędnie stosuje się wzór na pole trapezu z nieprawidłowo dobranymi podstawami lub myli się w obliczeniach — np. używa jako podstawy \(\\|AC\\|\) zamiast \(\\|AP\\|\).
D (60)	Uczeń interpretuje \(\\|AP\\| / \\|AB\\| = 2/3\) (zamiast \(3/5\)), przez co odejmuje trójkąty o polu \(\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{3}a \cdot b = \tfrac{ab}{6} = 15\) każdy. Wynik: \(90 - 15 - 15 = 60\).

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Stosunek \(\dfrac{|AP|}{|PB|} = \dfrac{3}{2}\) oznacza, że \(|AP| = \dfrac{3}{5}|AB|\) — mianownik to suma obu części (\(3 + 2 = 5\)), nie "2". Pomylenie daje \(\dfrac{2}{3}|AB|\) lub \(\dfrac{2}{5}|AB|\).

⚠️ Uwaga: Czworokąt APCR wygląda jak "trapez", ale jest równoległobokiem — obie pary boków są równe i równoległe. Sprawdzaj to wektorami lub porównując długości i kierunki boków.

⚠️ Uwaga: W Sposobie 2 trzeba odjąć dokładnie dwa trójkąty (z dwóch przeciwległych rogów). Odejście tylko jednego trójkąta to błąd, który daje \(90 - 18 = 72\) lub \(90 - 30 = 60\).

Matura 2020 - Majowa