Poprawna odpowiedź: C — 3 punkty wspólne

Sposób 1 — Podstawienie osi do równania okręgu

Równanie okręgu o środku \(S = (4, -3)\) i promieniu \(r = 5\): \[(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 25\]

Krok 1: Przecięcie z osią \(OX\) (podstawiamy \(y = 0\)): \[(x - 4)^2 + (0 + 3)^2 = 25\] \[(x - 4)^2 + 9 = 25\] \[(x - 4)^2 = 16\] \[x - 4 = \pm 4\] \[x = 8 \quad \text{lub} \quad x = 0\]

Dwa punkty na osi \(OX\): \(\mathbf{(0, 0)}\) i \(\mathbf{(8, 0)}\).

Krok 2: Przecięcie z osią \(OY\) (podstawiamy \(x = 0\)): \[(0 - 4)^2 + (y + 3)^2 = 25\] \[16 + (y + 3)^2 = 25\] \[(y + 3)^2 = 9\] \[y + 3 = \pm 3\] \[y = 0 \quad \text{lub} \quad y = -6\]

Dwa punkty na osi \(OY\): \(\mathbf{(0, 0)}\) i \(\mathbf{(0, -6)}\).

Krok 3: Policz różne punkty.

Zestawienie:

Oś \(OX\): \((0, 0)\) i \((8, 0)\)
Oś \(OY\): \((0, 0)\) i \((0, -6)\)

Punkt \((0, 0)\) — początek układu współrzędnych — należy do obu osi jednocześnie, więc liczymy go tylko raz.

Wszystkich różnych punktów wspólnych z osiami: 3.

Sposób 2 — Odległości środka od osi (warunek przekroju)

Zamiast liczyć równania, sprawdź odległość środka \(S=(4,-3)\) od każdej osi i porównaj z promieniem \(r = 5\).

Odległość od osi \(OX\) (oś \(OX\): \(y = 0\)): \[d_{OX} = |{-3}| = 3\]

Ponieważ \(d_{OX} = 3 < r = 5\), okrąg przecina oś \(OX\) w 2 punktach.

Odległość od osi \(OY\) (oś \(OY\): \(x = 0\)): \[d_{OY} = |4| = 4\]

Ponieważ \(d_{OY} = 4 < r = 5\), okrąg przecina oś \(OY\) w 2 punktach.

Razem dałoby to \(2 + 2 = 4\), ale — uwaga — teraz musimy sprawdzić, czy okrąg przechodzi przez punkt \((0,0)\): \[(0 - 4)^2 + (0 + 3)^2 = 16 + 9 = 25 = r^2 \checkmark\]

Punkt \((0, 0)\) leży na okręgu i jednocześnie na obu osiach — jest jednym punktem, nie dwoma. Odejmujemy \(1\): wynik \(4 - 1 = \mathbf{3}\).

Wzory z karty CKE

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22–25) — równanie okręgu w postaci kanonicznej: \[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\] gdzie \((a, b)\) to środek, \(r\) to promień. Użyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia punktów przecięcia z osiami.

Dział 11 (s. 22–25) — odległość punktu od prostej: \[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\] W Sposobie 2 obie osie to proste (\(y=0\) i \(x=0\)) — odległość środka od osi to po prostu \(|b|\) i \(|a|\).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Typowy błąd
A	Uczeń myśli, że okrąg jest "gdzieś z boku" i dotyka osi tylko w jednym miejscu — brak obliczeń
B	Policzono tylko przecięcia z jedną osią (np. tylko \(OX\)) i zapomniano o \(OY\)
D	Policzono \(2 + 2 = 4\) punkty, nie zauważając, że punkt \((0,0)\) należy do obu osi jednocześnie i jest liczony podwójnie

Odpowiedź D to najgroźniejsza pułapka w tym zadaniu!

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Punkt \((0, 0)\) leży na obu osiach. Jeśli okrąg przechodzi przez początek układu, ten punkt liczymy tylko raz — to jeden punkt wspólny z osiami, nie dwa!

⚠️ Uwaga: Sprawdzaj liczbę różnych punktów, a nie liczbę rozwiązań równań. Tutaj dwa równania dają po 2 rozwiązania, ale jedno rozwiązanie się powtarza.

⚠️ Uwaga: Gdy \(d = r\), okrąg jest styczny do osi (1 punkt). Gdy \(d < r\) — przecina ją w 2 punktach. Gdy \(d > r\) — brak punktów wspólnych. Tu obie odległości (\(3\) i \(4\)) są mniejsze od \(r = 5\), więc każda oś daje 2 punkty.

Matura 2019 - Styczniowa