Poprawna odpowiedź: B

Sposób 1 — Styczna prostopadła do promienia

Styczna do okręgu w punkcie jest prostopadła do promienia poprowadzonego do tego punktu. Zatem (\angle SAP = \angle SBP = 90^\circ).

Trójkąty (SAP) i (SBP) są prostokątne z przeciwprostokątną (SP = 13) i przyprostokątną (SA = SB = 5). Z twierdzenia Pitagorasa: [PA = PB = \sqrt{SP^2 - SA^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12.]

Deltoid (PBSA) składa się z dwóch przystających trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych (5) i (12). Pole każdego trójkąta: (\tfrac{5\cdot 12}{2} = 30). Pole deltoidu: [P_{PBSA} = 2\cdot 30 = 60.]

Sposób 2 — Wzór na pole deltoidu przez przekątne

Przekątne deltoidu: (SP = 13) i (AB). Trzeba obliczyć (AB). Czworobok (PBSA) ma przekątne prostopadłe w punkcie przecięcia (X). (AB = 2\cdot AX), gdzie (AX) to wysokość w trójkącie prostokątnym (SAP) poprowadzona z (A): [AX = \tfrac{SA\cdot AP}{SP} = \tfrac{5\cdot 12}{13} = \tfrac{60}{13}.] Stąd (AB = \tfrac{120}{13}), a pole deltoidu: [P = \tfrac{1}{2}\cdot SP\cdot AB = \tfrac{1}{2}\cdot 13\cdot \tfrac{120}{13} = 60.]

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

A. (30) — pole tylko jednego z dwóch trójkątów.
C. (64) — zapewne błąd rachunkowy w obliczaniu (PA).
D. (65) — ktoś pomylił się z (\tfrac{5\cdot 13}{1} = 65) (brak podziału).

Matura 2018 - Styczniowa