Poprawna odpowiedź: C

Przedział: \(21^\circ < \alpha \leq 24^\circ\)

Sposób 1 — Sinus kąta z definicji (sinus = przeciwległa/przeciwprostokątna)

W trójkącie prostokątnym \(KLM\) kąt prosty leży przy wierzchołku \(M\) (bo \(KL\) jest przeciwprostokątną).

Szukamy kąta \(\alpha = \angle LKM\) przy wierzchołku \(K\).

Identyfikujemy boki względem kąta \(\alpha\):

Bok naprzeciwko \(\alpha\): \(LM = 3\)
Przeciwprostokątna: \(KL = 8\)

Z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym: \[\sin\alpha = \frac{\text{bok naprzeciwko}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{LM}{KL} = \frac{3}{8} = 0{,}375\]

Teraz sprawdzamy wartości sinusa dla kątów z poszczególnych przedziałów, korzystając z tablicy (karta CKE s. 34) lub wzorów:

Kąt	Wartość sinusa
\(18^\circ\)	\(\approx 0{,}309\)
\(21^\circ\)	\(\approx 0{,}358\)
\(22^\circ\)	\(\approx 0{,}375\)
\(23^\circ\)	\(\approx 0{,}391\)
\(24^\circ\)	\(\approx 0{,}407\)
\(27^\circ\)	\(\approx 0{,}454\)

Mamy \(\sin\alpha = 0{,}375\), a sinus jest funkcją rosnącą dla kątów ostrych.

Ponieważ: \[\sin 21^\circ \approx 0{,}358 < 0{,}375 < 0{,}391 \approx \sin 23^\circ\]

wynika stąd, że \(21^\circ < \alpha < 23^\circ\).

Zatem \(\alpha\) należy do przedziału \(21^\circ < \alpha \leq 24^\circ\), czyli odpowiedź C.

Sposób 2 — Tangens kąta (przez obliczenie drugiej przyprostokątnej)

Wyznaczamy długość boku \(KM\) z twierdzenia Pitagorasa: \[KM = \sqrt{KL^2 - LM^2} = \sqrt{8^2 - 3^2} = \sqrt{64 - 9} = \sqrt{55}\]

Obliczamy: \[\sqrt{55} \approx 7{,}416\]

Tangens kąta \(\alpha\) przy wierzchołku \(K\): \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{LM}{KM} = \frac{3}{\sqrt{55}} \approx \frac{3}{7{,}416} \approx 0{,}4045\]

Sprawdzamy w tablicy (karta CKE s. 34):

Kąt	Wartość tangensa
\(21^\circ\)	\(\approx 0{,}384\)
\(22^\circ\)	\(\approx 0{,}404\)
\(23^\circ\)	\(\approx 0{,}424\)
\(24^\circ\)	\(\approx 0{,}445\)

Ponieważ \(\operatorname{tg}\alpha \approx 0{,}4045\) jest między \(\operatorname{tg}22^\circ\) a \(\operatorname{tg}23^\circ\), mamy: \[22^\circ < \alpha < 23^\circ\]

Oba sposoby potwierdzają: \(\mathbf{21^\circ < \alpha \leq 24^\circ}\), odpowiedź C.

Wzory z karty CKE

Dział 9 (Trygonometria, s. 11–12) — definicja sinusa i tangensa w trójkącie prostokątnym: \[\sin\alpha = \frac{\text{przeciwległa}}{c}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{\text{przeciwległa}}{\text{przyległa}}\] Użyliśmy tych definicji bezpośrednio do wyznaczenia wartości \(\sin\alpha = \frac{3}{8}\) i \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{\sqrt{55}}\).

Dział 10 (Planimetria, s. 15) — twierdzenie Pitagorasa: \[a^2 + b^2 = c^2\] Użyliśmy w Sposobie 2 do obliczenia \(KM = \sqrt{55}\).

Dział 17 (Tablica wartości, s. 34) — wartości funkcji trygonometrycznych co \(1^\circ\); kluczowe przy określeniu, w jakim przedziale leży \(\alpha\).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Typowy błąd
A	\(\sin\alpha = \frac{3}{8} = 0{,}375\), co odpowiada ok. \(22^\circ\) — uczeń mógł mylnie odczytać tablicę lub pomylić zakresy
B	Wynik \(22^\circ\) leży w przedziale \(21^\circ < \alpha \leq 24^\circ\), ale uczeń mógł błędnie zakwalifikować go do \((24^\circ, 27^\circ]\) lub odwrócić nierówności
D	Powstaje, gdy ktoś pomyli, który kąt liczy — np. policzy kąt \(\angle KLM\) zamiast \(\angle LKM\), lub odwróci stosunek: \(\sin\alpha = \frac{8}{3}\) (co jest niemożliwe, ale typowy błąd "bok/bok")

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Nie mylić, który bok jest "naprzeciwko" kąta \(\alpha\). Kąt \(\alpha\) jest przy \(K\), więc naprzeciwko niego leży \(LM = 3\), a nie \(KM\)!

⚠️ Uwaga: Sinus jest rosnący dla kątów \(0^\circ\) do \(90^\circ\) — im większy kąt, tym większy sinus. Pilnuj kierunku nierówności przy odczycie z tablicy.

⚠️ Uwaga: Tablicę trygonometryczną (s. 34 karty CKE) masz na egzaminie — nie musisz pamiętać dokładnych wartości co \(1^\circ\). Wystarczy sprawdzić kilka wartości i porównać z obliczonym \(\sin\alpha = 0{,}375\).

Matura 2018 - Majowa