Poprawna odpowiedź: A

Sposób 1 — Stosunki boków

Boki danego trójkąta są w stosunku (2:3:4) (współczynnik (\sqrt{5}) jest wspólny i skraca się). Sprawdzamy każdą odpowiedź:

A. (10:15:20 = 2:3:4) ✓
B. (20:45:80 = 4:9:16) ✗
C. (\sqrt{2}:\sqrt{3}:\sqrt{4} \approx 1{,}41:1{,}73:2), stosunek (\ne 2:3:4) ✗
D. (\sqrt{5}:2\sqrt{5}:3\sqrt{5} = 1:2:3) ✗

Tylko A ma ten sam stosunek boków (skala (k = \tfrac{10}{2\sqrt{5}} = \tfrac{\sqrt{5}}{1}\cdot\tfrac{1}{1} = \sqrt{5}) — każdy bok pomnożony przez (\sqrt{5})).

Sposób 2 — Cecha podobieństwa BBB

Dwa trójkąty są podobne, gdy ich boki są proporcjonalne (cecha bok-bok-bok). Wystarczy sprawdzić, czy (\tfrac{a'}{a} = \tfrac{b'}{b} = \tfrac{c'}{c}).

A. (\tfrac{10}{2\sqrt{5}} = \sqrt{5}), (\tfrac{15}{3\sqrt{5}} = \sqrt{5}), (\tfrac{20}{4\sqrt{5}} = \sqrt{5}) — wszystkie równe ✓

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

B. Boki są w stosunku (4:9:16) (kwadraty (2,3,4)). Ktoś pomnożył zamiast zachować proporcje.
C. Ktoś wziął pierwiastki z liczb (2, 3, 4) — stosunek jest zupełnie inny.
D. Trójkąt w stosunku (1:2:3); takich trójkątów nawet nie istnieje geometrycznie (nierówność trójkąta: (1+2 = 3) — trójkąt zdegenerowany!).

Matura 2018 - Majowa