Poprawna odpowiedź: B

\(|\angle ACB| = |\angle ADB| = |\angle AEB|\)

Sposób 1 — Twierdzenie Talesa o kącie wpisanym w półokrąg

Kluczowe spostrzeżenie: Odcinek \(AB\) jest średnicą koła, więc każdy kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym.

Twierdzenie: Kąt wpisany w okrąg oparty na średnicy wynosi dokładnie \(90°\).

Dlaczego? Kąt środkowy oparty na średnicy wynosi \(180°\) (bo średnica to cięciwa przechodząca przez środek). Kąt wpisany = \(\frac{1}{2}\) kąta środkowego, zatem kąt wpisany = \(\frac{180°}{2} = 90°\).

Zastosowanie do zadania:

Punkty \(C\), \(D\), \(E\) leżą na jednym z łuków \(AB\), czyli wszystkie trzy leżą na tym samym półokręgu. Każdy z kątów \(\angle ACB\), \(\angle ADB\), \(\angle AEB\) jest kątem wpisanym opartym na tej samej cięciwie — na średnicy \(AB\).

\[|\angle ACB| = |\angle ADB| = |\angle AEB| = 90°\]

Informacja o stosunku długości łuków \(1:1:2:4\) nie ma wpływu na wynik — każdy punkt na półokręgu (różny od \(A\) i \(B\)) daje kąt \(90°\).

Odpowiedź: B

Sposób 2 — Weryfikacja przez konkretne obliczenie

Sprawdźmy liczbowo, podstawiając konkretne kąty wynikające ze stosunku łuków.

Suma wszystkich łuków = pełne półkole = \(180°\) (łuk odpowiadający średnicy).

Stosunek \(1:1:2:4\) oznacza sumę \(1+1+2+4 = 8\) części, więc:

\[\text{łuk } AC = \frac{1}{8} \cdot 180° = 22{,}5°\] \[\text{łuk } CD = \frac{1}{8} \cdot 180° = 22{,}5°\] \[\text{łuk } DE = \frac{2}{8} \cdot 180° = 45°\] \[\text{łuk } EB = \frac{4}{8} \cdot 180° = 90°\]

Kąt wpisany \(\angle ACB\) jest oparty na łuku \(AB\) nie zawierającym punktu \(C\), czyli na dolnym łuku \(AB\) (cały półokrąg od strony \(A\) do \(B\) bez \(C\)):

Kąt wpisany = \(\frac{1}{2}\) kąta środkowego = \(\frac{1}{2} \cdot 180° = 90°\)

Analogicznie dla \(\angle ADB\) i \(\angle AEB\) — każdy z nich jest oparty na tym samym łuku (średnicy), zatem:

\[|\angle ACB| = |\angle ADB| = |\angle AEB| = 90°\]

Wynik zgodny z odpowiedzią B. ✓

Wzory z karty CKE

Dział 10 (Planimetria, s. 19) — kąt wpisany i kąt środkowy:

Kąt wpisany = połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Skoro kąt środkowy oparty na średnicy wynosi \(180°\), to: \[|\angle \text{wpisany}| = \frac{1}{2} \cdot 180° = 90°\]

To jest twierdzenie Talesa (kąt wpisany w półokrąg) — wprost z działu planimetrii karty wzorów, s. 19.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Błąd
A	Uczeń myśli, że kąt wpisany zależy od odległości punktu od A lub B — im bliżej środka łuku, tym większy kąt. To nieprawda — oparcie na tej samej cięciwie (średnicy) daje zawsze \(90°\).
C	Uczeń zauważa równość \(\angle ACB = \angle ADB\) (bo leżą "symetrycznie"), ale błędnie sądzi, że \(\angle AEB\) jest większy, bo punkt \(E\) leży bliżej \(B\). Pozycja punktu na półokręgu nie zmienia kąta wpisanego opartego na średnicy.
D	Odwrotny błąd do C — uczeń myśli, że \(\angle ACB\) jest mniejszy (bo punkt \(C\) leży blisko \(A\)), a \(\angle ADB = \angle AEB\) (bo \(D, E\) leżą "centralniej"). Znów błędne rozumowanie.

Typowe pułapki i uwaga

⚠️ Uwaga: Dane o stosunku łuków \(1:1:2:4\) to zmyłka — uczeń który je uwzględnia w obliczeniu kątów \(\angle ACB\), \(\angle ADB\), \(\angle AEB\) wpada w pułapkę. Te dane są niepotrzebne do odpowiedzi na pytanie o wzajemną relację tych kątów.

⚠️ Uwaga: Mylenie kąta wpisanego z kątem środkowym — kąt wpisany jest oparty na wierzchołku leżącym na okręgu, nie w środku. Kąt środkowy ma wierzchołek w centrum koła. Kąt wpisany = \(\frac{1}{2}\) kąta środkowego.

⚠️ Uwaga: Twierdzenie "kąt wpisany w półokrąg = \(90°\)" działa tylko gdy cięciwa, na której oparty jest kąt, jest średnicą. Dla innych cięciw kąt wpisany nie musi być prostokątem.

Matura 2017 - Styczniowa