Poprawna odpowiedź: C

Sposób 1 — Trójkąt równoramienny OBC

W trójkącie (OBC): (|OB| = |OC| = R) (promienie), więc jest to trójkąt równoramienny. Kąty przy podstawie równe: [\angle OBC = \angle OCB.]

Z rysunku kąt (\angle ACO = ?) lub podobny w kąta 56°. Przyjmując że (\angle OCB = 56^\circ) w trójkącie równoramiennym (OCB): [\angle BOC = 180^\circ - 2\cdot 56^\circ = 68^\circ.]

Ponieważ (AB) jest średnicą, kąty (\angle AOC) i (\angle BOC) są kątami przyległymi na prostej (wierzchołek (O)): (\angle AOC + \angle BOC = 180^\circ). [\alpha = \angle AOC = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ.]

Sposób 2 — Dedukcja przez kąt wpisany w półokręgu

(AB) jest średnicą → kąt (\angle ACB = 90^\circ) (Talesa). Zatem kąty (\angle ACO + \angle OCB = 90^\circ). Jeśli (\angle OCB = 56^\circ), to (\angle ACO = 34^\circ). W trójkącie (OCA) (równoramiennym, (OA=OC=R)): (\angle OAC = \angle OCA = 34^\circ), więc (\alpha = \angle AOC = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

A. (116^\circ), B. (114^\circ), D. (110^\circ) — błędy rachunkowe przy odejmowaniu od (180^\circ) lub mylne użycie wzoru.

Kluczowe: promienie okręgu = równe boki → trójkąty równoramienne → symetryczne kąty przy podstawie.

Matura 2017 - Majowa