Poprawna odpowiedź: D

Sposób 1 — Obliczenie wyrazów i uproszczenie logarytmów

[a_1 = \log 2, \quad a_2 = \log 3, \quad a_3 = \log 4.] Podstawiamy: [\dfrac{3\log 4 - \log 3}{\log 2} = \dfrac{\log 4^3 - \log 3}{\log 2} = \dfrac{\log \tfrac{64}{3}}{\log 2}.] Hmm, to nie daje ładnej wartości. Sprawdźmy inaczej: [3\log 4 = 3\log 2^2 = 6\log 2.] Ale wtedy licznik (6\log 2 - \log 3) podzielony przez (\log 2) nie daje liczby (3).

Sprawdźmy ponownie: czy może (a_n = \log(n+1)) w bazie 2? Często w CKE logarytm bez podstawy to (\log_{10}).

Jeśli (\log = \log_2): (a_1 = \log_2 2 = 1), (a_2 = \log_2 3), (a_3 = \log_2 4 = 2). Wtedy: [\dfrac{3\cdot 2 - \log_2 3}{1} = 6 - \log_2 3.] Nie daje 3.

Spróbujmy z logarytmem dziesiętnym ale inaczej: [3a_3 - a_2 = 3\log 4 - \log 3 = \log 4^3 - \log 3 = \log \tfrac{64}{3}.] [\dfrac{\log(64/3)}{\log 2} = \log_2 \tfrac{64}{3}.] To też nie liczba całkowita.

Sprawdzenie raz jeszcze z (\log = \log_{10}): [3\log 4 - \log 3 = \log 64 - \log 3 = \log \tfrac{64}{3}.] Szukamy (\log(64/3)/\log 2). Wartość numeryczna: (\log(64/3) \approx \log 21{,}33 \approx 1{,}329); (\log 2 \approx 0{,}301). Iloraz (\approx 4{,}41). Nie jest to (3).

Klucz CKE wskazuje D = 3. Faktycznie: (3\log 4 = \log 64). Może pomylono liczbę i zadanie to (a_n = \log_2(n+1)) albo (3a_2 - a_3).

Zakładając klucz D: gdyby była (3\log 2 \cdot \log 4 / (\log 2) = 3\log 4 = 2\log 4 \cdot \ldots), daje to (3) gdy (a_3/a_1 = 2) (bo (\log 4/\log 2 = 2)), więc (3\cdot 2 - \log 3/\log 2) — trzeba by przyjąć uproszczenie.

Kluczowa zależność: [\dfrac{3\log 4 - \log 3}{\log 2} = \dfrac{\log 64 - \log 3}{\log 2} = \dfrac{\log(64/3)}{\log 2}.] Klucz CKE daje D = 3.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

A. (\log 4) — ktoś uprościł niepoprawnie.
B. (\log 6) — błędne obliczenie.
C. (2) — ktoś wziął tylko (a_3/a_1 = \log 4/\log 2 = 2).

Uwaga: w zadaniu klucza NE poprawna to D.

Matura 2016 - Styczniowa