Poprawna odpowiedź: B — \(\angle ACS\)

Sposób 1 — Rzut prostopadły krawędzi na podstawę

Definicja kąta prostego między krawędzią a płaszczyzną: Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt między tą prostą a jej rzutem prostopadłym na tę płaszczyznę. Jest to najmniejszy kąt między prostą a jakąkolwiek prostą w płaszczyźnie przechodzącą przez punkt przecięcia.

Krok 1: Wyznaczamy rzut punktu \(S\) na podstawę.

Ostrosłup jest prawidłowy, więc wierzchołek \(S\) leży dokładnie nad środkiem \(O\) podstawy (kwadrat \(ABCD\)). Zatem: \[S \xrightarrow{\text{rzut na podstawę}} O\]

Krok 2: Wyznaczamy rzut krawędzi \(CS\) na płaszczyznę podstawy.

Rzut odcinka \(CS\) na podstawę to odcinek \(CO\) (rzutujemy koniec \(S\) na \(O\), koniec \(C\) zostaje w miejscu — leży już w podstawie).

Krok 3: Kluczowa obserwacja — gdzie leży \(O\)?

W kwadracie \(ABCD\) środek \(O\) leży na przekątnej \(AC\) (diagonale kwadratu przecinają się w środku!). Zatem: \[O \in AC \implies CO \text{ leży na prostej } CA\]

Rzut krawędzi \(CS\) na podstawę to odcinek \(CO\) — a ten biegnie w kierunku wierzchołka \(A\).

Krok 4: Kąt między \(CS\) a podstawą.

Kąt między \(CS\) a jej rzutem \(CO\) (czyli \(CA\)) jest kątem przy wierzchołku \(C\) w trójkącie \(ACS\): \[\text{szukany kąt} = \angle ACS\]

Odpowiedź: \(\angle ACS\) — odpowiedź B.

Sposób 2 — Trójkąt prostokątny \(OCS\)

Konstruujemy trójkąt \(OCS\), gdzie:

\(O\) = środek podstawy (rzut \(S\) na podstawę)
\(|SO|\) = wysokość ostrosłupa (prostopadle do podstawy)
\(|OC|\) = połowa przekątnej kwadratu (odcinek w płaszczyźnie podstawy)
kąt \(\angle SOC = 90°\) (bo \(SO \perp\) podstawa)

W tym trójkącie prostokątnym kąt przy wierzchołku \(C\): \[\angle OCS = \angle(\text{krawędź } CS,\ \text{podstawa})\]

Ponieważ \(O\) leży na odcinku \(CA\), mamy \(\angle OCS = \angle ACS\) — to ten sam kąt. ✓

Wzór na ten kąt (gdyby znano wymiary): \[\operatorname{tg}(\angle ACS) = \frac{|SO|}{|OC|} = \frac{h}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{h\sqrt{2}}{a}\] gdzie \(h\) = wysokość, \(a\) = bok podstawy.

Wzory z karty CKE

Dział 10 (Planimetria, s. 15–16) — definicja kąta między prostą a płaszczyzną (kąt rzutu prostopadłego):

Kąt między prostą \(\ell\) a płaszczyzną \(\pi\) to kąt między \(\ell\) a prostą \(\ell'\) będącą rzutem \(\ell\) na \(\pi\).

Dział 9 (Trygonometria, s. 11) — w trójkącie \(OCS\): \[\operatorname{tg}(\angle OCS) = \frac{|SO|}{|OC|}\] Użyte przy Sposobie 2 do wyrażenia wartości kąta.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Kąt	Błąd
A	\(\angle DCS\)	\(D\) jest sąsiednim wierzchołkiem kwadratu — \(CD\) to bok, nie przekątna. Rzut \(CS\) na podstawę biegnie wzdłuż \(CA\), nie \(CD\).
C	\(\angle OSC\)	To kąt przy wierzchołku \(S\), nie przy \(C\). Jest dopełnieniem szukanego kąta do \(90°\) — typowe przestawienie wierzchołka.
D	\(\angle SCB\)	\(B\) to sąsiedni wierzchołek — \(CB\) to bok kwadratu. Tak samo jak A, rzut CS nie biegnie wzdłuż boku.

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Kąt między prostą a płaszczyzną nie jest kątem między prostą a jakimkolwiek odcinkiem leżącym w podstawie — tylko między prostą a jej rzutem prostopadłym na tę płaszczyznę.

⚠️ Uwaga: W kwadracie \(ABCD\) środek \(O\) leży na obu przekątnych: \(AC\) i \(BD\). Tu krawędź wychodzi z \(C\), więc rzut biegnie wzdłuż \(CA\) — gdyby krawędź wychodziła z \(B\) lub \(D\), rzut biegłby wzdłuż \(BD\).

⚠️ Uwaga: Odpowiedź C (\(\angle OSC\)) jest szczególnie myląca — zawiera właściwe punkty \(O\), \(S\), \(C\), ale kąt jest mierzony przy złym wierzchołku (\(S\) zamiast \(C\)).

Matura 2015 - CKE-przykladowa