Poprawna odpowiedź: C

Sposób 1 — Warunek na układ sprzeczny

Układ (\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 \ a_2 x + b_2 y + c_2 = 0 \end{cases}) jest sprzeczny (brak rozwiązań, proste równoległe), gdy: [\tfrac{a_1}{a_2} = \tfrac{b_1}{b_2} \ne \tfrac{c_1}{c_2}.]

Sprawdzamy każde z równań:

A. (\tfrac{3}{6} = \tfrac{4}{8} = \tfrac{-5}{-10} = \tfrac{1}{2}) — wszystkie równe → to samo równanie, układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
B. (\tfrac{3}{4} \ne \tfrac{4}{-3}) — proste się przecinają (jedno rozwiązanie).
C. (\tfrac{3}{9} = \tfrac{4}{12} = \tfrac{1}{3}), ale (\tfrac{-5}{-10} = \tfrac{1}{2} \ne \tfrac{1}{3}) — proste równoległe różne → sprzeczny. ✓
D. (\tfrac{3}{5} \ne \tfrac{4}{4}) — proste się przecinają.

Sposób 2 — Sprowadzenie do postaci kierunkowej (y = ax + b)

Z (3x + 4y - 5 = 0): (y = -\tfrac{3}{4}x + \tfrac{5}{4}).

Z (9x + 12y - 10 = 0): (y = -\tfrac{9}{12}x + \tfrac{10}{12} = -\tfrac{3}{4}x + \tfrac{5}{6}).

Współczynniki kierunkowe równe ((-\tfrac{3}{4})), ale wyrazy wolne różne ((\tfrac{5}{4} \ne \tfrac{5}{6})) → proste równoległe różne → sprzeczny.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

A. Równania są proporcjonalne (pomnożone przez (2)) → ta sama prosta.
B, D. Współczynniki kierunkowe różne → proste się przecinają.

Matura 2015 - CKE-przykladowa