Poprawna odpowiedź: C — \(45\%\)

Sposób 1 — Obliczenia procentowe krok po kroku

Przyjmijmy, że Julia miała oszczędności równe \(100\%\) (lub konkretnie \(100\) zł — wygodna liczba do liczenia).

Krok 1: Prezent dla Maćka

Julia wydała połowę oszczędności: \[\frac{1}{2} \cdot 100 = 50 \text{ zł}\]

Zostało jej: \[100 - 50 = 50 \text{ zł} \quad \text{(czyli } 50\% \text{ oszczędności)}\]

Krok 2: Prezent dla Dominiki

Julia wydała \(10\%\) z tego, co jej zostało (czyli z \(50\) zł, nie z całości!): \[10\% \cdot 50 = \frac{10}{100} \cdot 50 = 5 \text{ zł}\]

Krok 3: Co zostało?

\[50 - 5 = 45 \text{ zł}\]

Ponieważ zaczęliśmy od \(100\) zł, oznacza to, że Julii zostało \(45\%\) oszczędności.

Sposób 2 — Mnożenie współczynników (bez konkretnej kwoty)

Możemy od razu pracować na ułamkach, bez przyjmowania konkretnej kwoty.

Po prezencie dla Maćka zostało: \[1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \text{ oszczędności}\]

Po prezencie dla Dominiki zostało \(90\%\) z tej połowy (bo wydała \(10\%\)): \[\frac{1}{2} \cdot \frac{90}{100} = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{10} = \frac{9}{20}\]

Zamieniamy na procenty: \[\frac{9}{20} = \frac{45}{100} = 45\%\]

Julii zostało \(45\%\) oszczędności. ✓

Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE — wystarczą podstawowe działania procentowe i ułamki. Maturzysta powinien znać z głowy, że \(p\%\) z \(x\) to \(\frac{p}{100} \cdot x\).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi
A — \(25\%\)	Uczeń oblicza \(10\%\) z całości (\(10\) zł), zamiast z tego co zostało; potem liczy \(50 - 10 = 40\), ale jeszcze raz się myli — lub mylnie sądzi, że po dwóch operacjach zostaje \(\frac{1}{4}\)
B — \(40\%\)	Uczeń oblicza \(10\%\) ze wszystkich oszczędności (czyli \(10\) zł), a nie z pozostałych \(50\) zł: \(100 - 50 - 10 = 40\). To klasyczna pułapka!
D — \(55\%\)	Uczeń zapomina odjąć prezent dla Dominiki i zostaje przy \(50\%\), lub liczy tylko \(10\%\) i otrzymuje \(50 + 10 = 55\) (dodaje zamiast odejmować)

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to liczenie \(10\%\) z całości oszczędności zamiast z tego co zostało. Treść mówi wyraźnie: „\(10\%\) tego, co jej zostało" — czytaj uważnie!

⚠️ Uwaga: Dwie kolejne operacje procentowe nie sumują się prosto — \(50\% + 10\% \neq 60\%\) wydane. Drugie \(10\%\) to procent z mniejszej kwoty, więc realnie to tylko \(5\%\) z całości.

⚠️ Uwaga: Przyjęcie konkretnej kwoty (np. \(100\) zł) bardzo ułatwia liczenie i eliminuje błędy — to skuteczna technika w zadaniach procentowych!

Matura 2014 - Sierpniowa