Poprawna odpowiedź: D

\(x \in (-\infty, 0\rangle \cup \langle 7, +\infty)\)

Sposób 1 — Przeniesienie na jedną stronę i analiza paraboli

Przenosimy wszystko na jedną stronę:

\[7x \leq x^2\] \[0 \leq x^2 - 7x\] \[x^2 - 7x \geq 0\]

Wyłączamy wspólny czynnik:

\[x(x - 7) \geq 0\]

Teraz mamy iloczyn dwóch czynników. Iloczyn jest nieujemny (≥ 0), gdy obydwa czynniki mają ten sam znak (lub jeden z nich jest zerem).

Miejsca zerowe: \(x = 0\) lub \(x = 7\).

Sporządzamy tabelę znaków:

Przedział	\(x\)	\(x-7\)	\(x(x-7)\)
\(x < 0\)	\(-\)	\(-\)	\(+\) ✓
\(x = 0\)	\(0\)	\(-\)	\(0\) ✓
\(0 < x < 7\)	\(+\)	\(-\)	\(-\) ✗
\(x = 7\)	\(+\)	\(0\)	\(0\) ✓
\(x > 7\)	\(+\)	\(+\)	\(+\) ✓

Rozwiązanie: \(x \in (-\infty, 0\rangle \cup \langle 7, +\infty)\)

Sposób 2 — Wykres funkcji kwadratowej

Rozważamy funkcję \(f(x) = x^2 - 7x\).

Nierówność \(x^2 - 7x \geq 0\) oznacza: szukamy, dla jakich \(x\) wykres paraboli leży na osi \(x\) lub powyżej niej.

Wyznaczamy miejsca zerowe:

\[\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 49\] \[x_1 = \frac{7 - \sqrt{49}}{2} = \frac{7 - 7}{2} = 0, \quad x_2 = \frac{7 + 7}{2} = 7\]

Współczynnik \(a = 1 > 0\), więc parabola jest skierowana ramionami do góry — leży powyżej osi \(x\) na zewnątrz pierwiastków (dla \(x \leq 0\) i \(x \geq 7\)).

Rozwiązanie: \(x \in (-\infty, 0\rangle \cup \langle 7, +\infty)\) ✓

Wzory z karty CKE

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7–9) — miejsca zerowe trójmianu: \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad \Delta = b^2 - 4ac\] Użyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia pierwiastków \(x^2 - 7x = 0\).

Dział 7 zawiera też postać iloczynową: \(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\), która jest podstawą Sposobu 1 — po wyłączeniu \(x(x-7)\) wprost odczytujemy pierwiastki.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Błąd
A	Błędne nawiasy — odpowiedź A zawiera przedziały otwarte \((-\infty, 0)\) i \((7, +\infty)\), pomijając \(x = 0\) i \(x = 7\). Tymczasem nierówność jest nieostro \(\leq\), więc \(x = 0\) i \(x = 7\) spełniają ją (obie strony są równe).
B	Zupełnie odwrotny zbiór — to rozwiązanie nierówności \(x^2 - 7x \leq 0\). Pomylono kierunek: parabola leży poniżej osi \(x\) między pierwiastkami, nie powyżej.
C	Uwzględniono tylko prawą część rozwiązania i zapomniano o \(x \leq 0\). Przy \(x = -3\): \(7 \cdot (-3) = -21 \leq 9 = (-3)^2\) — warunek jest spełniony!

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Nierówność nieostro \(\leq\) oznacza, że punkty \(x = 0\) i \(x = 7\) należą do rozwiązania. Odpowiedź A to najczęstszy błąd — uczniowie stawiają nawiasy okrągłe zamiast kwadratowych przy miejscach zerowych.

⚠️ Uwaga: Nie dziel obu stron przez \(x\)! Pisanie \(7 \leq x\) po „podzieleniu przez \(x\)" jest błędem — nie wiadomo, czy \(x > 0\) czy \(x < 0\), a dla \(x < 0\) kierunek nierówności się odwraca. Zawsze przenieś na jedną stronę i wyłącz czynnik.

⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić kierunek nierówności dla paraboli. Zapamiętaj: gdy \(a > 0\) (parabola otwarta w górę), wyrażenie \(ax^2 + bx + c \geq 0\) jest spełnione na zewnątrz pierwiastków, a \(\leq 0\) — między pierwiastkami.

Matura 2014 - Marcowa