Poprawna odpowiedź: A

Sposób 1 — Trójkąt prostokątny

Zauważmy, że (A = (\sqrt{2}, \sqrt{6})), (C = (\sqrt{2}, 0)) — mają tę samą pierwszą współrzędną, więc odcinek (AC) jest pionowy. Odcinek (BC) ma oba końce z (y = 0), więc jest poziomy. Trójkąt (ABC) jest prostokątny z kątem prostym w (C).

Długości:

(|AC| = \sqrt{6}) (odcinek pionowy),
(|BC| = \sqrt{2}) (odcinek poziomy).

W trójkącie prostokątnym kąt (BAC) leży przy wierzchołku (A) — naprzeciwko (BC): [\tan(\angle BAC) = \dfrac{|BC|}{|AC|} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\dfrac{2}{6}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}.] [\tan(\angle BAC) = \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \tan 30^\circ \Rightarrow \angle BAC = 30^\circ.]

Sposób 2 — Inna funkcja trygonometryczna

(|AB| = \sqrt{2 + 6} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}) (to przeciwprostokątna). (\sin(\angle BAC) = \dfrac{|BC|}{|AB|} = \dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2} = \sin 30^\circ).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

B. (45^\circ): byłoby tak, gdyby (|AC| = |BC|), ale (\sqrt{6} \ne \sqrt{2}).
C. (60^\circ): to byłby kąt przy wierzchołku (B), nie (A).
D. (75^\circ): niezgodne z żadnym rachunkiem.

Matura 2014 - Grudniowa