Poprawna odpowiedź: D — ostrosłup jest 5 razy mniejszy od pozostałej części

Sposób 1 — objętość czworościanu przez trójkątną podstawę i wysokość

Oznaczamy wierzchołki sześcianu we współrzędnych (krawędź \(a\)):

\[A = (0,0,0),\quad B = (a,0,0),\quad C = (a,a,0),\quad D = (0,a,0)\] \[E = (0,0,a),\quad F = (a,0,a),\quad G = (a,a,a),\quad H = (0,a,a)\]

Ostrosłup \(ABDE\) to czworościan (4 wierzchołki, 4 trójkątne ściany) — nie ostrosłup z kwadratową podstawą!

Krok 1 — wybranie podstawy i wysokości

Bierzemy za podstawę trójkąt \(ABD\) leżący w płaszczyźnie \(z = 0\):

\(A = (0,0,0)\), \(B = (a,0,0)\), \(D = (0,a,0)\)
Trójkąt prostokątny, ramiona długości \(a\) i \(a\)

\[P_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2}\]

Krok 2 — wysokość ostrosłupa

Wierzchołek \(E = (0,0,a)\) leży nad płaszczyzną \(z = 0\) na wysokości: \[h = a\]

Krok 3 — objętość ostrosłupa

\[V_{\text{ostrosłup}} = \frac{1}{3} \cdot P_{ABD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{2} \cdot a = \frac{a^3}{6}\]

Krok 4 — objętość sześcianu i reszty

\[V_{\text{sześcian}} = a^3\] \[V_{\text{reszta}} = a^3 - \frac{a^3}{6} = \frac{5a^3}{6}\]

Krok 5 — ile razy mniejszy?

\[\frac{V_{\text{reszta}}}{V_{\text{ostrosłup}}} = \frac{\dfrac{5a^3}{6}}{\dfrac{a^3}{6}} = \boxed{5}\]

Objętość ostrosłupa jest 5 razy mniejsza od pozostałej części sześcianu.

Sposób 2 — wzór wyznacznikowy na czworościan

Objętość czworościanu o jednym wierzchołku w \(A\) i trzech krawędziach \(\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE}\):

\[V = \frac{1}{6} \left|\det\begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{bmatrix}\right| = \frac{1}{6} \cdot a^3 = \frac{a^3}{6}\]

Wyznacznik tej macierzy jest prosty — to macierz diagonalna: \[\det = a \cdot a \cdot a = a^3\]

Stąd \(V_{\text{ostrosłup}} = \frac{a^3}{6}\) — wynik ten sam co w Sposobie 1. ✓

Ciekawostka: Sześcian można rozciąć na dokładnie 6 przystających czworościanów każdy o objętości \(\frac{a^3}{6}\). Ostrosłup \(ABDE\) jest właśnie jednym z nich!

Wzory z karty CKE

Dział 12 (Stereometria, s. 26–28) — wzór na objętość ostrosłupa: \[V = \frac{1}{3} P_p \cdot h\] gdzie \(P_p\) = pole podstawy, \(h\) = wysokość. Użyliśmy tego w Sposobie 1 z trójkątną podstawą \(ABD\).

Dział 10 (Planimetria, s. 15) — pole trójkąta prostokątnego: \[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\] Użyliśmy do wyznaczenia pola podstawy \(P_{ABD} = \frac{a^2}{2}\).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Typowy błąd
A — 2 razy	Potraktowanie \(ABDE\) jako ostrosłupa z kwadratową podstawą: \(V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a = \frac{a^3}{3}\), reszta \(= \frac{2a^3}{3}\), stosunek \(= 2\)
B — 3 razy	Zapomnienie o czynniku \(\frac{1}{2}\) w polu trójkąta: użycie \(P = a^2\) zamiast \(\frac{a^2}{2}\), wtedy \(V = \frac{a^3}{3}\) i stosunek \(= 2\)... lub inna kombinacja błędów dająca \(V = \frac{a^3}{4}\)
C — 4 razy	Obliczenie stosunku \(V_{\text{sześcianu}}/V_{\text{ostrosłupa}} = 6\), a następnie pomylenie pytania: odjęcie 1 od licznika zamiast od sumy — lub wzięcie złej wysokości

Typowe pułapki

⚠️ Uwaga: \(ABDE\) to czworościan (4 wierzchołki, 4 trójkątne ściany) — NIE ostrosłup z kwadratową podstawą. Sprawdź, czy \(A, B, D, E\) leżą w jednej płaszczyźnie (nie leżą!), zanim wybierzesz wzór.

⚠️ Uwaga: Pytanie brzmi „ile razy mniejszy od pozostałej części", nie od całego sześcianu! Wiele osób liczy \(V_{\text{sześcian}} / V_{\text{ostrosłup}} = 6\) i wybiera odpowiedź 6 — której tu nie ma. Reszta to \(6 - 1 = 5\) razy więcej niż ostrosłup.

⚠️ Uwaga: Wysokość czworościanu to odległość wierzchołka od płaszczyzny podstawy, nie od najbliższego wierzchołka. Tutaj \(E\) leży pionowo nad \(A\) na wysokości \(a\) — ale sprawdzaj to zawsze przez równanie płaszczyzny!

Matura 2014 - Grudniowa