Poprawna odpowiedź: C — wartość wyrażenia wynosi \(2\)

Sposób 1 — Wyłączenie na wspólny mianownik

Chcemy obliczyć: \[\frac{2}{\sqrt{3}-1} - \frac{2}{\sqrt{3}+1}\]

Krok 1: Wyznaczamy wspólny mianownik. Dla ułamków z mianownikami \(\sqrt{3}-1\) i \(\sqrt{3}+1\) wspólnym mianownikiem jest ich iloczyn: \[(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)\]

Krok 2: Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\): \[(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2\]

Krok 3: Sprowadzamy do wspólnego mianownika i odejmujemy: \[\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} - \frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\]

\[= \frac{2(\sqrt{3}+1) - 2(\sqrt{3}-1)}{2}\]

Krok 4: Upraszczamy licznik: \[2(\sqrt{3}+1) - 2(\sqrt{3}-1) = 2\sqrt{3} + 2 - 2\sqrt{3} + 2 = 4\]

Krok 5: Wynik końcowy: \[\frac{4}{2} = \mathbf{2}\]

Sposób 2 — Racjonalizacja każdego ułamka osobno

Zamiast od razu szukać wspólnego mianownika, możemy najpierw zracjonalizować (usunąć pierwiastek z mianownika) każdy ułamek z osobna.

Pierwszy ułamek — mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie \((\sqrt{3}+1)\): \[\frac{2}{\sqrt{3}-1} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{2\sqrt{3}+2}{2} = \sqrt{3}+1\]

Drugi ułamek — mnożymy przez \((\sqrt{3}-1)\): \[\frac{2}{\sqrt{3}+1} \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \frac{2\sqrt{3}-2}{2} = \sqrt{3}-1\]

Odejmujemy: \[(\sqrt{3}+1) - (\sqrt{3}-1) = \sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1 = \mathbf{2}\]

Wynik ten sam — potwierdza odpowiedź C.

Wzory z karty CKE

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) — wzór na różnicę kwadratów: \[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\] Użyliśmy go do obliczenia \((\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1) = 3-1 = 2\) (w obu sposobach). Bez tego wzoru musielibyśmy mnożyć nawiasy ręcznie.

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4–5): \[(\sqrt{3})^2 = 3\] Własność podstawowa: \(\sqrt{a}^2 = a\) dla \(a \geq 0\).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Typowy błąd
A \((-2)\)	Pomylenie kolejności odejmowania: obliczono \(\frac{2}{\sqrt{3}+1} - \frac{2}{\sqrt{3}-1}\) zamiast odwrotnie
B \((-2\sqrt{3})\)	Zignorowanie wyrazów bez \(\sqrt{3}\) w liczniku — wzięto tylko człony \(2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\) i oddzielnie pogubiono wyraz wolny; wynik \(\frac{-4\sqrt{3}}{2}\) — błąd znaku i składnika
D \((2\sqrt{3})\)	Błędne uproszczenie: odejmując ułamki, niektórzy liczą \(\frac{2-2}{\sqrt{3}-1-(\sqrt{3}+1)}\) lub błędnie przyjmują, że wynikiem racjonalizacji jest \(2\sqrt{3}\) zamiast \(\sqrt{3} \pm 1\)

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Przy odejmowaniu ułamków \(\frac{a}{X} - \frac{b}{Y}\) NIE odejmujemy mianowników ani liczników osobno. Zawsze sprowadzamy do wspólnego mianownika!

⚠️ Uwaga: Racjonalizując \(\frac{2}{\sqrt{3}-1}\), mnożymy przez \(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}\) (wyrażenie sprzężone). Łatwo pomylić znak — sprzężenie do \((\sqrt{3}-1)\) to \((\sqrt{3}+1)\), a nie \((-\sqrt{3}+1)\).

⚠️ Uwaga: \((\sqrt{3})^2 = 3\), a nie \(\sqrt{9} = 3\) — to co prawda ten sam wynik, ale mechanicznie: podnosząc \(\sqrt{3}\) do kwadratu po prostu "zdejmujemy" pierwiastek. Nie myl z \((\sqrt{3})^3\), które już daje \(3\sqrt{3}\).

Matura 2014 - Majowa