Poprawna odpowiedź: B — \(5^4\sqrt{5}\)

Sposób 1 — sprowadzenie wszystkiego do potęg liczby 5

Zapisujemy każdy czynnik jako potęgę liczby \(5\):

\[25 = 5^2\] \[\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}\]

Podstawiamy do wyrażenia:

\[\frac{5^3 \cdot 25}{\sqrt{5}} = \frac{5^3 \cdot 5^2}{5^{\frac{1}{2}}}\]

W liczniku mnożymy potęgi o tej samej podstawie (dodajemy wykładniki):

\[= \frac{5^{3+2}}{5^{\frac{1}{2}}} = \frac{5^5}{5^{\frac{1}{2}}}\]

Dzielimy potęgi (odejmujemy wykładniki):

\[= 5^{5 - \frac{1}{2}} = 5^{\frac{9}{2}}\]

Teraz zapisujemy \(5^{\frac{9}{2}}\) w postaci z pierwiastkiem:

\[5^{\frac{9}{2}} = 5^{4 + \frac{1}{2}} = 5^4 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = \mathbf{5^4\sqrt{5}}\]

Sposób 2 — weryfikacja przez wyznaczenie wartości numerycznej

Sprawdzamy, czy obie strony dają tę samą liczbę.

Liczymy lewą stronę: \[\frac{5^3 \cdot 25}{\sqrt{5}} = \frac{125 \cdot 25}{\sqrt{5}} = \frac{3125}{\sqrt{5}}\]

Mnożymy licznik i mianownik przez \(\sqrt{5}\) (usuwamy pierwiastek z mianownika): \[= \frac{3125\sqrt{5}}{5} = 625\sqrt{5}\]

Teraz sprawdzamy odpowiedź B: \[5^4\sqrt{5} = 625\sqrt{5} \checkmark\]

Wyniki się zgadzają — odpowiedź B jest poprawna.

Wzory z karty CKE

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4–5)

Użyliśmy trzech reguł działań na potęgach:

\[a^r \cdot a^s = a^{r+s}\] Użyte przy mnożeniu \(5^3 \cdot 5^2 = 5^5\) w liczniku.

\[\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\] Użyte przy dzieleniu \(\frac{5^5}{5^{\frac{1}{2}}} = 5^{\frac{9}{2}}\).

\[a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\] Użyte przy zamianie \(5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}\) oraz rozkładzie \(5^{\frac{9}{2}} = 5^4 \cdot \sqrt{5}\).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Typowy błąd
A	Błędne dodawanie wykładników: \(3 + 2 + \frac{1}{2} = 5\frac{1}{2}\) zamiast odjęcia \(\frac{1}{2}\) za mianownik — wychodzi \(5^5\sqrt{5}\)
C	Pominięcie \(25 = 5^2\) w obliczeniach — liczono tylko \(\frac{5^3}{\sqrt{5}} = 5^{\frac{5}{2}} = 5^2\sqrt{5}\), co po zaokrągleniu daje błędne \(5^3\sqrt{5}\)
D	Podwojenie wykładnika zamiast dodania: potraktowanie \(5^3 \cdot 25\) jak \((5^3)^2 = 5^6\), co daje \(5^6\sqrt{5}\)

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \(\sqrt{5}\) w mianowniku oznacza odejmowanie wykładnika \(\frac{1}{2}\), nie dodawanie. Łatwo tu popełnić błąd znaku.

⚠️ Uwaga: Rozkład końcowego wyniku \(5^{\frac{9}{2}} = 5^4 \cdot 5^{\frac{1}{2}}\) wymaga świadomego "wyciągnięcia" całkowitej części wykładnika. Sprawdź: \(4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}\) ✓

⚠️ Uwaga: \(25 \neq 5^3\) — to częsty błąd! \(25 = 5^2\), bo \(5 \cdot 5 = 25\), nie \(5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\).

Matura 2013 - Sierpniowa