Poprawna odpowiedź: C

Kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy to kąt między apotemem ściany bocznej a apotemem podstawy.

Sposób 1 — Definicja kąta dwuściennego (kąt nachylenia płaszczyzny)

Kąt nachylenia płaszczyzny \(\alpha\) (tu: ściany bocznej) do innej płaszczyzny (tu: podstawy) definiujemy jako kąt dwuścienny wzdłuż wspólnej krawędzi obu płaszczyzn.

Krok po kroku:

Krok 1. Wyznacz wspólną krawędź obu płaszczyzn.

Ściana boczna i podstawa mają wspólną krawędź — krawędź podstawy (bok kwadratu).

Krok 2. Dobierz odpowiedni punkt na krawędzi.

Wybieramy środek krawędzi podstawy — to najwygodniejszy punkt, bo tam zbiegają się dwa apotemy (apotema ściany i apotema podstawy).

Krok 3. Wyznacz prostą w każdej z płaszczyzn, prostopadłą do wspólnej krawędzi.

W ścianie bocznej (trójkąt równoramienny): prosta prostopadła do krawędzi podstawy poprowadzona ze środka tej krawędzi to apotema ściany bocznej — czyli wysokość tego trójkąta (odcinek od wierzchołka ostrosłupa do środka krawędzi podstawy).
W płaszczyźnie podstawy: prosta prostopadła do krawędzi podstawy poprowadzona ze środka tej krawędzi to apotema podstawy — odcinek od środka kwadratu do środka jego boku.

Krok 4. Kąt między tymi dwiema prostymi to szukany kąt \(\alpha\).

\[\alpha = \angle(\text{apotema ściany bocznej},\ \text{apotema podstawy})\]

To właśnie odpowiedź C.

Sposób 2 — Weryfikacja przez konkretny przykład liczbowy

Weźmy ostrosłup o podstawie kwadratu z bokiem \(2a\) i wysokości \(h\).

Apotema podstawy: odcinek od środka kwadratu do środka boku = \(a\)
Apotema ściany bocznej: odcinek od wierzchołka do środka krawędzi podstawy, długość \(l = \sqrt{a^2 + h^2}\)

Kąt między apotemem ściany a apotemem podstawy:

\[\operatorname{tg}\alpha = \frac{h}{a}\]

Sprawdzamy, czy to rzeczywiście kąt nachylenia ściany:

Normalny do ściany bocznej jest prostopadły do całej ściany. Kąt między normalną do ściany a normalną do podstawy (pionem) wynosi \(90° - \alpha\). Stąd kąt nachylenia ściany do podstawy = \(\alpha\), co potwierdza wzór \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{h}{a}\) wynikający z układu apotema ściany – apotema podstawy.

Żaden z pozostałych kątów z odpowiedzi A, B, D nie daje tej samej wartości.

Wzory z karty CKE

Dział 12 (Stereometria, s. 26–28) — definicja i własności ostrosłupa prostego.

W tym zadaniu nie używamy konkretnego wzoru obliczeniowego z karty — zadanie jest definicyjne: testuje znajomość pojęcia kąta nachylenia płaszczyzny. Kluczowa jest definicja kąta dwuściennego i pojęcia apotemy, które są częścią materiału stereometrii.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Błąd
A	„Kąt przy krawędzi bocznej" to kąt między krawędzią boczną a podstawą (krawędzią lub płaszczyzną), nie kąt nachylenia ściany. Krawędź boczna nie leży w ścianie prostopadle do krawędzi podstawy, więc nie mierzy nachylenia tej ściany.
B	„Kąt między przekątną podstawy a krawędzią boczną" to kąt w innej płaszczyźnie — między przekątną kwadratu a krawędzią boczną ostrosłupa. Nie opisuje on nachylenia ściany bocznej.
D	„Kąt dwuścienny między krawędzią boczną a podstawą" to kąt dwuścienny wzdłuż krawędzi bocznej (narożna krawędź ostrosłupa), nie wzdłuż krawędzi podstawy. To inny kąt — opisuje, jak „otwiera się" krawędź boczna, nie jak pochylona jest ściana boczna.

Typowe pułapki i uwaga

⚠️ Uwaga: Kąt nachylenia ściany a kąt nachylenia krawędzi bocznej to dwa różne kąty! Ściana opiera się na krawędzi podstawy → mierzymy kąt prostopadle do tej krawędzi (apotemy). Krawędź boczna wychodzi z narożnika → mierzylibyśmy inaczej.

⚠️ Uwaga: Apotema ściany bocznej to nie krawędź boczna ostrosłupa! Apotema ściany = wysokość trójkątnej ściany bocznej, tzn. odcinek od wierzchołka ostrosłupa do środka krawędzi podstawy.

⚠️ Uwaga: W zadaniach tego typu zawsze pytaj: „Prostopadłe do której krawędzi?" — kąt nachylenia płaszczyzny mierzymy prostopadle do linii przecięcia obu płaszczyzn. Tu: do krawędzi podstawy, czyli przez apotemy.

Matura 2013 - Lutowa