Poprawna odpowiedź: A

Sposób 1 — Wysokość trapezu

Niech (h) — wysokość trapezu. Ramiona tworzą z dłuższą podstawą kąty (30^{\circ}) i (60^{\circ}). Z definicji sinusa w trójkątach prostokątnych utworzonych przez wysokości: [\sin 30^{\circ} = \dfrac{h}{a} \Rightarrow a = \dfrac{h}{\sin 30^{\circ}} = \dfrac{h}{1/2} = 2h,] [\sin 60^{\circ} = \dfrac{h}{b} \Rightarrow b = \dfrac{h}{\sin 60^{\circ}} = \dfrac{h}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{2h}{\sqrt{3}} = \dfrac{2h\sqrt{3}}{3}.]

Dłuższe ramię odpowiada mniejszemu kątowi ((30^{\circ})), czyli (a=2h). Krótsze ramię: (b=\tfrac{2h\sqrt{3}}{3}).

Stosunek krótszego do dłuższego: [\dfrac{b}{a} = \dfrac{2h\sqrt{3}/3}{2h} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}.]

Sposób 2 — Proporcja sinusów

Krótsze ramię naprzeciw większego kąta (60^{\circ}). Stosunek: [\dfrac{b}{a} = \dfrac{\sin 30^{\circ}}{\sin 60^{\circ}} = \dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}.]

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

B. (\tfrac{1}{3}) — brak pierwiastka; błąd racjonalizacji.
C. (\tfrac{\sqrt{2}}{2}) — wartość (\sin 45^{\circ}); nieistotna tu.
D. (\tfrac{1}{2}) — (\tfrac{\sin 30^{\circ}}{1}=\tfrac{1}{2}); pominięty (\sin 60^{\circ}).

Pamiętaj: w trapezie z różnymi kątami ostrymi przy podstawie, dłuższe ramię jest przy mniejszym kącie (mniejszy sinus → większa hipotenuza dla tej samej wysokości).

Matura 2013 - Lutowa