Poprawna odpowiedź: A

Wartość wyrażenia wynosi \(\dfrac{4}{3}\).

Sposób 1 — Uproszczenie algebraiczne (bez liczenia cos α)

Kluczowa obserwacja: najpierw upraszczamy, potem podstawiamy.

Korzystamy z definicji tangensa \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\):

\[\operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \cos\alpha = \sin\alpha\]

Kosinusy się skracają! Całe wyrażenie staje się trywialne:

\[1 + \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha = 1 + \sin\alpha = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\]

Wynik: \(\dfrac{4}{3}\)

Sposób 2 — Podstawienie pełnych wartości liczbowych (weryfikacja)

Wyznaczamy \(\cos\alpha\) z jedynki trygonometrycznej:

\[\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\]

\[\cos\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}\]

(wartość dodatnia, bo \(\alpha\) jest kątem ostrym)

Wyznaczamy \(\operatorname{tg}\alpha\):

\[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}\]

Podstawiamy do wyrażenia:

\[1 + \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha = 1 + \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 1 + \frac{2 \cdot 2}{4 \cdot 3} = 1 + \frac{4}{12} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\]

Wynik: \(\dfrac{4}{3}\) ✓ — zgodny ze Sposobem 1.

Wzory z karty CKE

Dział 9 (Trygonometria, s. 11–14)

Definicja tangensa: \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\] Użyliśmy jej w Sposobie 1 do uproszczenia \(\operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha = \sin\alpha\) i w Sposobie 2 do obliczenia wartości.

Jedynka trygonometryczna: \[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\] Użyliśmy jej w Sposobie 2 do wyznaczenia \(\cos\alpha\) ze znajomości \(\sin\alpha\).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Błąd prowadzący do tej odpowiedzi
B \(\dfrac{11}{9}\)	Błąd obliczeniowy przy bezpośrednim podstawianiu bez uprzedniego uproszczenia — np. błędne wymnożenie kolejnych ułamków na etapie rachunków
C \(\dfrac{17}{9}\)	Pomylono \(\operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha\) z \(\cos^2\alpha\): uczeń liczy \(1 + \cos^2\alpha = 1 + \dfrac{8}{9} = \dfrac{17}{9}\)
D \(\dfrac{11}{3}\)	Pomylono \(\operatorname{tg}\alpha\) z \(\operatorname{ctg}\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\): wówczas \(\operatorname{ctg}\alpha \cdot \cos\alpha = \dfrac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha} = \dfrac{8/9}{1/3} = \dfrac{8}{3}\), zatem \(1 + \dfrac{8}{3} = \dfrac{11}{3}\)

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Zawsze najpierw upraszczaj algebraicznie, zanim zaczniesz podstawiać liczby. Tu wystarczyło zauważyć, że \(\operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha = \sin\alpha\) — i zadanie skończyło się w jednej linii.

⚠️ Uwaga: \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha\), a nie \(1 - \sin\alpha\). To bardzo częsty błąd — odejmowanie samego sinusa zamiast jego kwadratu.

⚠️ Uwaga: Nie mylić \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) z \(\operatorname{ctg}\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\). Zamiana tych dwóch prowadzi prosto do odpowiedzi D.

Matura 2013 - Czerwcowa