Poprawna odpowiedź: C

Sposób 1 — Wyłączenie (\cos^{2}\alpha)

[\sin^{2}\alpha + \sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha + \cos^{4}\alpha = \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha).] Korzystamy z jedynki trygonometrycznej (\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1): [= \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha\cdot 1 = \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1.]

Sposób 2 — Podstawienie (\alpha = 45^{\circ})

(\sin^{2} 45^{\circ} = \cos^{2} 45^{\circ} = \tfrac{1}{2}). Wyrażenie: [\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2} + \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2} = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{4} = 1.] Pasuje tylko do odpowiedzi C.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

A. (2\sin^{2}\alpha): przy (\alpha=45^{\circ}) daje (1), ale przy (\alpha=30^{\circ}) daje (\tfrac{1}{2}), a wyrażenie zawsze daje (1).
B. (2\cos^{2}\alpha): analogicznie — niestałe.
D. (2): dla (\alpha=45^{\circ}) wyrażenie daje (1), nie (2).

Trik: szukaj wspólnego czynnika, by wykorzystać (\sin^{2}+\cos^{2}=1).

Matura 2013 - Czerwcowa