Poprawna odpowiedź: C — \(\dfrac{21}{25}\)

Sposób 1 — Uproszczenie algebraiczne wyrażenia

Kluczowa obserwacja: Zanim podstawimy liczby, uprośćmy wyrażenie symbolicznie — to o wiele szybsze.

Rozkładamy nawiasy:

\[ \operatorname{tg}^2\alpha \cdot \left(\frac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha} - \cos^2\alpha\right) = \operatorname{tg}^2\alpha \cdot \frac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha} - \operatorname{tg}^2\alpha \cdot \cos^2\alpha \]

Pierwszy składnik upraszcza się natychmiast:

\[ \operatorname{tg}^2\alpha \cdot \frac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha} = 1 \]

W drugim składniku korzystamy z definicji tangensu \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\):

\[ \operatorname{tg}^2\alpha \cdot \cos^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} \cdot \cos^2\alpha = \sin^2\alpha \]

Całe wyrażenie przyjmuje postać:

\[ 1 - \sin^2\alpha \]

A to jest dokładnie jedynka trygonometryczna! Z tożsamości \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) wynika:

\[ 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha \]

Teraz podstawiamy podaną wartość:

\[ \cos^2\alpha = \left(\frac{\sqrt{21}}{5}\right)^2 = \boxed{\frac{21}{25}} \]

Sposób 2 — Bezpośrednie obliczenie wartości tg i podstawienie

Wyznaczamy wszystkie potrzebne wartości krok po kroku.

Krok 1: Liczymy \(\sin^2\alpha\) z jedynki trygonometrycznej:

\[ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \frac{21}{25} = \frac{4}{25} \]

Krok 2: Przyjmując \(\alpha\) ostry: \(\sin\alpha = \frac{2}{5}\), więc:

\[ \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}} = \frac{2}{\sqrt{21}}, \quad \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{4}{21} \]

Krok 3: Obliczamy zawartość nawiasu:

\[ \frac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha} - \cos^2\alpha = \frac{21}{4} - \frac{21}{25} = 21 \cdot \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{25}\right) = 21 \cdot \frac{21}{100} = \frac{441}{100} \]

Krok 4: Mnożymy przez \(\operatorname{tg}^2\alpha\):

\[ \frac{4}{21} \cdot \frac{441}{100} = \frac{4 \cdot 441}{2100} = \frac{1764}{2100} = \frac{21}{25} \]

Wynik zgodny z Sposobem 1. ✓

Wzory z karty CKE

Dział 9 (Trygonometria, s. 11–14) — jedynka trygonometryczna: \[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\] Użyliśmy jej dwukrotnie: w Sposobie 1 do uproszczenia \(1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha\), a w Sposobie 2 do wyliczenia \(\sin^2\alpha\).

Dział 9 (s. 11) — definicja tangensu: \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\] Użyliśmy w Sposobie 1 do uproszczenia \(\operatorname{tg}^2\alpha \cdot \cos^2\alpha = \sin^2\alpha\).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Błąd prowadzący do tej odpowiedzi
A \(\frac{4}{25}\)	Wynik to \(\sin^2\alpha\) — uczeń upraszcza \(1 - \sin^2\alpha\), ale pomyłkowo zatrzymuje się na \(\sin^2\alpha\), zamiast zamienić na \(\cos^2\alpha\).
B \(1 - \sqrt{\frac{7}{5}}\)	Wartość ujemna — algebraiczny bałagan przy próbie wyciągania pierwiastka z wyrażeń. Samo to, że wynik jest poniżej zera, powinno być sygnałem błędu.
D \(\frac{3}{5}\)	Uczeń poprawnie upraszcza do \(1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha\), ale potem zamiast podnieść do kwadratu oblicza \(\cos\alpha\) i... myli je z \(1 - \sin\alpha = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\). Mylenie funkcji z jej kwadratem!

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Nie podstawiaj liczb od razu — najpierw uprość wyrażenie symbolicznie. Tutaj \(\operatorname{tg}^2\alpha \cdot \frac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha} = 1\) i \(\operatorname{tg}^2\alpha \cdot \cos^2\alpha = \sin^2\alpha\) redukują zadanie do prostego obliczenia \(\cos^2\alpha\).

⚠️ Uwaga: \(\cos^2\alpha \neq \cos\alpha\). Po uproszczeniu do \(\cos^2\alpha\) pamiętaj, że pytanie o wartość wyrażenia wymaga kwadratu — nie można zaraportować \(\frac{\sqrt{21}}{5}\) jako wyniku.

⚠️ Uwaga: Tożsamość \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) działa dla każdego kąta \(\alpha\) — nie tylko ostrego. Jeśli nie wiesz, czy kąt jest ostry czy rozwarty, i tak możesz liczyć \(\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha\). Znak \(\sin\alpha\) zależy od ćwiartki, ale w tym zadaniu pracujemy na kwadratach, więc to nie ma znaczenia.

Matura 2012 - Marcowa