Poprawna odpowiedź: C

Sposób 1 — Uproszczenie wyrażenia

[\operatorname{tg}^2\alpha\cdot\left(\dfrac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha} - \cos^2\alpha\right) = 1 - \operatorname{tg}^2\alpha\cdot\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha.] bo (\operatorname{tg}\alpha\cdot\cos\alpha = \sin\alpha), więc (\operatorname{tg}^2\alpha\cdot\cos^2\alpha = \sin^2\alpha).

[\cos^2\alpha = \left(\dfrac{\sqrt{21}}{5}\right)^2 = \dfrac{21}{25}.]

Sposób 2 — Substytucja wartości

(\cos^2\alpha = \tfrac{21}{25}), (\sin^2\alpha = 1 - \tfrac{21}{25} = \tfrac{4}{25}), (\operatorname{tg}^2\alpha = \tfrac{4/25}{21/25} = \tfrac{4}{21}). [\operatorname{tg}^2\alpha\cdot\left(\tfrac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha} - \cos^2\alpha\right) = 1 - \operatorname{tg}^2\alpha\cdot\cos^2\alpha = 1 - \tfrac{4}{21}\cdot\tfrac{21}{25} = 1 - \tfrac{4}{25} = \tfrac{21}{25}.]

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

A. (\tfrac{4}{25}) — to (\sin^2\alpha), nie (\cos^2\alpha).
B, D — błędne przekształcenia.

Pamiętaj: (\operatorname{tg}\alpha\cdot\cos\alpha = \sin\alpha); jedynka trygonometryczna (\sin^2+\cos^2=1).

Matura 2012 - Marcowa