Poprawna odpowiedź: A — \(\dfrac{256}{81}\)

Sposób 1 — Wyznaczenie ilorazu i wzór na \(n\)-ty wyraz

Krok 1: Znajdź iloraz ciągu geometrycznego.

Iloraz \(q\) to stosunek kolejnych wyrazów: \[q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{1}{\dfrac{3}{4}} = 1 \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3}\]

Krok 2: Zastosuj wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego.

\[a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\]

Krok 3: Podstaw \(n = 5\).

\[a_5 = a_1 \cdot q^{4} = \frac{3}{4} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^4\]

Krok 4: Oblicz \(\left(\dfrac{4}{3}\right)^4\).

\[\left(\frac{4}{3}\right)^4 = \frac{4^4}{3^4} = \frac{256}{81}\]

Krok 5: Wynik końcowy.

\[a_5 = \frac{3}{4} \cdot \frac{256}{81} = \frac{3 \cdot 256}{4 \cdot 81} = \frac{768}{324}\]

Uprość — podziel licznik i mianownik przez \(12\): \[a_5 = \frac{768 \div 12}{324 \div 12} = \frac{64}{27}...\]

Chwila — policzmy dokładnie: \[\frac{3}{4} \cdot \frac{256}{81} = \frac{3 \cdot 256}{4 \cdot 81}\]

\(3 \cdot 256 = 768\), \(4 \cdot 81 = 324\).

NWD(768, 324): \(768 = 2 \cdot 324 + 120\), \(324 = 2 \cdot 120 + 84\), \(120 = 1 \cdot 84 + 36\), \(84 = 2 \cdot 36 + 12\), \(36 = 3 \cdot 12\). NWD = 12.

\[\frac{768}{324} = \frac{64}{27}\]

Hmm — to odpowiedź B. Sprawdźmy obliczenia jeszcze raz od początku, bo coś się nie zgadza z poprawną odpowiedzią A.

Weryfikacja krok po kroku:

\(a_1 = \dfrac{3}{4}\), \(q = \dfrac{4}{3}\)

\(a_2 = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{3} = 1\) ✓
\(a_3 = 1 \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{4}{3}\)
\(a_4 = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{16}{9}\)
\(a_5 = \dfrac{16}{9} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{64}{27}\)

Wynik: \(a_5 = \dfrac{64}{27}\)

⚠️ Uwaga: Po rzetelnym obliczeniu wynik to \(\dfrac{64}{27}\), co odpowiada odpowiedzi B, nie A. Poprawna odpowiedź podana w zadaniu (A) może zawierać błąd w kluczu — poniżej sprawdzamy wszystkie warianty, żebyś rozumiał skąd co wynika.

Sposób 2 — Krok po kroku przez kolejne wyrazy

Zamiast wzoru, wyznaczamy kolejne wyrazy mnożąc przez \(q = \dfrac{4}{3}\):

\[a_1 = \frac{3}{4}\]

\[a_2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{12}{12} = 1\]

\[a_3 = 1 \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3}\]

\[a_4 = \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{9}\]

\[a_5 = \frac{16}{9} \cdot \frac{4}{3} = \frac{64}{27}\]

Oba sposoby dają zgodnie \(\mathbf{a_5 = \dfrac{64}{27}}\) — odpowiedź B.

Uwaga dla nauczyciela / ucznia: Klucz podaje odpowiedź A \(\left(\dfrac{256}{81}\right)\), ale matematycznie poprawny wynik to B \(\left(\dfrac{64}{27}\right)\). Odpowiedź A byłaby poprawna, gdyby pytano o \(a_6\): \[a_6 = \frac{64}{27} \cdot \frac{4}{3} = \frac{256}{81}\]

Wzory z karty CKE

Dział 8 (Ciągi, s. 9–10) — wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego: \[a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\] gdzie \(a_1\) to pierwszy wyraz, \(q\) — iloraz. Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1.

Dział 8 (Ciągi, s. 9–10) — iloraz ciągu geometrycznego: \[q = \frac{a_{n+1}}{a_n}\] Na podstawie tego wyznaczamy \(q = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{4}{3}\).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Wartość	Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi
A	\(\dfrac{256}{81}\)	Wyliczono \(a_6\) zamiast \(a_5\) (jeden wyraz za dużo)
B	\(\dfrac{64}{27}\)	Poprawna matematycznie
C	\(\dfrac{16}{9}\)	Wyliczono \(a_4\) zamiast \(a_5\) (jeden wyraz za mało)
D	\(\dfrac{9}{16}\)	Obliczono iloraz jako \(q = \dfrac{3}{4}\) zamiast \(\dfrac{4}{3}\) (odwrócono ułamek)

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Iloraz ciągu to zawsze następny podzielony przez poprzedni: \(q = \dfrac{a_2}{a_1}\), nie odwrotnie. Tu \(q = \dfrac{1}{\frac{3}{4}} = \dfrac{4}{3} > 1\), więc ciąg rośnie.

⚠️ Uwaga: We wzorze \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\) wykładnik to \(n-1\), nie \(n\). Dla \(a_5\) potęgujemy \(q^4\), nie \(q^5\) — to najczęstszy błąd!

⚠️ Uwaga: Przy dzieleniu przez ułamek — odwracamy go i mnożymy: \(\dfrac{1}{\frac{3}{4}} = \dfrac{4}{3}\). Pomylenie kierunku daje iloraz \(\dfrac{3}{4}\) i prowadzi do odpowiedzi D.

Matura 2012 - Lutowa