Poprawna odpowiedź: C — \(\alpha = 45°\)

Sposób 1 — odczyt z tabeli wartości

Z karty wzorów (dział 9, tabela, s. 11–14) znamy dokładne wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów specjalnych:

\(\alpha\)	\(30°\)	\(45°\)	\(60°\)
\(\operatorname{tg}\alpha\)	\(\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577\)	\(1\)	\(\sqrt{3} \approx 1{,}732\)

Szukamy kąta ostrego, dla którego \(\operatorname{tg}\alpha = 1\).

Z tabeli wprost odczytujemy: \[\operatorname{tg} 45° = 1\]

Zatem \(\alpha = 45°\), odpowiedź C.

Sposób 2 — rozumowanie geometryczne

Tangensem kąta \(\alpha\) w trójkącie prostokątnym jest stosunek: \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\text{przeciwprostokątna}}{\text{przyprostokątna}}\]

Jeśli \(\operatorname{tg}\alpha = 1\), to obie przyprostokątne są równe: \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b} = 1 \implies a = b\]

Trójkąt prostokątny o równych przyprostokątnych to trójkąt prostokątny równoramienny — oba kąty ostre są równe i każdy wynosi: \[\alpha = \frac{180° - 90°}{2} = 45°\]

Zatem \(\alpha = 45°\), odpowiedź C. ✓

Wzory z karty CKE

Dział 9 (Trygonometria, s. 11–14) — tabela wartości dla kątów specjalnych:

\(\alpha\)	\(30°\)	\(45°\)	\(60°\)
\(\operatorname{tg}\alpha\)	\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt{3}\)

Użyliśmy tego w Sposobie 1 — bezpośredni odczyt wartości \(\operatorname{tg} 45° = 1\).

Dodatkowo definicja tangensa z trójkąta prostokątnego (Dział 9, s. 11): \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}\] Użyta w Sposobie 2.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Błąd
A	\(\alpha < 30°\) — zupełnie inny obszar; \(\operatorname{tg}\) rośnie wraz z \(\alpha\), więc dla \(\alpha < 30°\) mamy \(\operatorname{tg}\alpha < \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577 < 1\) — sprzeczność
B	Pomylenie \(\operatorname{tg} 30°\) z wynikiem: \(\operatorname{tg} 30° = \frac{\sqrt{3}}{3} \neq 1\). Ktoś mógł myśleć o \(\sin 30° = \frac{1}{2}\) lub \(\cos 60° = \frac{1}{2}\) i przeskoczył myślami na „30°"
D	\(\alpha > 45°\) — dla kątów ostrych większych niż \(45°\) mamy \(\operatorname{tg}\alpha > 1\), np. \(\operatorname{tg} 60° = \sqrt{3} \approx 1{,}732\). Tu jest odwrotnie niż potrzeba

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Nie mylić \(\operatorname{tg} 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}\) z \(\operatorname{tg} 45° = 1\). Te dwa kąty są często mylone, bo \(30°\) i \(45°\) brzmią „podobnie specjalnie".

⚠️ Uwaga: Funkcja tangens rośnie dla kątów ostrych (od \(0\) do \(+\infty\) gdy \(\alpha \to 90°\)). Jeśli \(\operatorname{tg}\alpha = 1\), to kąt leży dokładnie w połowie między \(0°\) a \(90°\) — czyli \(45°\). To dobry intuicyjny sprawdzian.

⚠️ Uwaga: Na egzaminie masz tabelę kątów specjalnych na karcie wzorów — zawsze sprawdzaj tam wartości zamiast liczyć z pamięci. To zajmuje 10 sekund i eliminuje błędy.

Matura 2012 - Czerwcowa