Poprawna odpowiedź: B — \(x = 1\)

Sposób 1 — rozważanie przypadków z definicji wartości bezwzględnej

Wartość bezwzględna \(|3x+1|\) przyjmuje dwie formy w zależności od znaku wyrażenia pod nią.

Krok 1: Wyznacz, kiedy wyrażenie pod modułem zmienia znak.

\[3x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{3}\]

Krok 2: Przypadek I — gdy \(x \geq -\frac{1}{3}\) (wyrażenie pod modułem nieujemne)

\[|3x+1| = 3x+1\]

Równanie staje się: \[3x + 1 = 4x\] \[1 = 4x - 3x\] \[x = 1\]

Sprawdzamy warunek: \(1 \geq -\frac{1}{3}\) — tak, \(x = 1\) jest rozwiązaniem.

Krok 3: Przypadek II — gdy \(x < -\frac{1}{3}\) (wyrażenie pod modułem ujemne)

\[|3x+1| = -(3x+1)\]

Równanie staje się: \[-(3x+1) = 4x\] \[-3x - 1 = 4x\] \[-1 = 7x\] \[x = -\frac{1}{7}\]

Sprawdzamy warunek: \(-\frac{1}{7} \geq -\frac{1}{3}\), więc \(-\frac{1}{7} < -\frac{1}{3}\) jest fałszem — \(x = -\frac{1}{7}\) nie spełnia warunku przypadku II. Brak rozwiązania.

Wynik: \(x = 1\), odpowiedź B.

Sposób 2 — podejście przez podniesienie do kwadratu

Zamiast rozważać przypadki, możemy skorzystać z własności \(|A| = B \implies A^2 = B^2\) (gdy \(B \geq 0\)).

Uwaga: Prawa strona musi być nieujemna! Sprawdzamy: \(4x \geq 0 \implies x \geq 0\) — tylko takie rozwiązania mogą być poprawne.

Krok 1: Podnosimy obie strony do kwadratu.

\[(3x+1)^2 = (4x)^2\] \[9x^2 + 6x + 1 = 16x^2\] \[0 = 16x^2 - 9x^2 - 6x - 1\] \[7x^2 - 6x - 1 = 0\]

Krok 2: Rozwiązujemy trójmian kwadratowy.

\[\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64\] \[x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 \pm 8}{14}\] \[x_1 = \frac{6 + 8}{14} = \frac{14}{14} = 1\] \[x_2 = \frac{6 - 8}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}\]

Krok 3: Weryfikacja warunku \(x \geq 0\).

\(x_1 = 1 \geq 0\) — tak, sprawdzamy: \(|3 \cdot 1 + 1| = |4| = 4 = 4 \cdot 1\) ✓
\(x_2 = -\frac{1}{7} < 0\) — nie, odrzucamy (prawa strona byłaby ujemna, a wartość bezwzględna nie może być ujemna)

Wynik: \(x = 1\), odpowiedź B.

Wzory z karty CKE

Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4) — definicja: \[|x| = \begin{cases} x & \text{dla } x \geq 0 \\ -x & \text{dla } x < 0 \end{cases}\] Użyliśmy jej w Sposobie 1 do rozbicia równania na dwa przypadki.

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7–8) — wzór na miejsca zerowe: \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad \Delta = b^2 - 4ac\] Użyliśmy w Sposobie 2 do rozwiązania \(7x^2 - 6x - 1 = 0\).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Wartość	Błąd
A	\(x = -1\)	Sprawdzenie: \(\|3(-1)+1\| = \|-2\| = 2\), a \(4 \cdot (-1) = -4\). Wartość bezwzględna nie może równać się liczbie ujemnej — uczeń mógł zgubić to ograniczenie
C	\(x = 2\)	Sprawdzenie: \(\|3 \cdot 2 + 1\| = 7\), a \(4 \cdot 2 = 8\). Prawdopodobnie błąd rachunkowy przy upraszczaniu równania
D	\(x = -2\)	Sprawdzenie: \(\|3(-2)+1\| = \|-5\| = 5\), a \(4 \cdot (-2) = -8\). Znowu prawa strona ujemna — fizycznie niemożliwe

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Równanie \(|A| = B\) ma rozwiązania tylko gdy \(B \geq 0\). Jeśli po rozwiązaniu wychodzi \(x\) takie, że prawa strona jest ujemna — to rozwiązanie trzeba odrzucić! Wielu uczniów o tym zapomina.

⚠️ Uwaga: W metodzie przez podniesienie do kwadratu pojawia się równanie kwadratowe z dwoma kandydatami na rozwiązanie. Zawsze sprawdź oba w oryginalnym równaniu — jedno może być pozorne (tzw. rozwiązanie obce).

⚠️ Uwaga: W metodzie przypadków pamiętaj, że każde znalezione \(x\) musisz sprawdzić w warunku przypadku (czy faktycznie \(x \geq -\frac{1}{3}\) lub \(x < -\frac{1}{3}\)). Bez tego sprawdzenia można przyjąć błędne rozwiązanie.

Matura 2012 - Majowa