Poprawna odpowiedź: D (\(4\))

Szukane liczby to: 2000, 1100, 1010, 1001.

Sposób 1 — Analiza przypadków (podział wg pierwszej cyfry)

Każda czterocyfrowa liczba naturalna ma postać \(\overline{abcd}\), gdzie:

\(a \in \{1, 2, \ldots, 9\}\) (pierwsza cyfra niezerowa)
\(b, c, d \in \{0, 1, \ldots, 9\}\)
warunek: \(a + b + c + d = 2\)

Skoro \(a \geq 1\) i suma wszystkich cyfr wynosi \(2\), to \(a\) może być co najwyżej \(2\). Rozpatrujemy dwa przypadki.

Przypadek 1: \(a = 2\)

Wtedy \(b + c + d = 2 - 2 = 0\), więc \(b = c = d = 0\).

Jedyna liczba: 2000.

Liczba rozwiązań: \(1\).

Przypadek 2: \(a = 1\)

Wtedy \(b + c + d = 2 - 1 = 1\). Szukamy nieujemnych rozwiązań całkowitoliczbowych z \(b, c, d \geq 0\).

Skoro suma wynosi dokładnie \(1\), to dokładnie jedna z cyfr \(b, c, d\) jest równa \(1\), pozostałe są zerami. Możliwe układy:

\(b\)	\(c\)	\(d\)	Liczba
1	0	0	1100
0	1	0	1010
0	0	1	1001

Liczba rozwiązań: \(3\).

Łącznie: \[1 + 3 = \mathbf{4}\]

Sposób 2 — Weryfikacja przez wyliczenie wprost

Po prostu wypisujemy wszystkie czterocyfrowe liczby o sumie cyfr \(2\) i sprawdzamy:

\[2000: \quad 2+0+0+0 = 2 \checkmark\] \[1100: \quad 1+1+0+0 = 2 \checkmark\] \[1010: \quad 1+0+1+0 = 2 \checkmark\] \[1001: \quad 1+0+0+1 = 2 \checkmark\]

Czy pominęliśmy coś? Pierwsza cyfra to \(1\) lub \(2\). Dla \(a=2\): suma pozostałych \(= 0\) → jedynie \(2000\). Dla \(a=1\): suma pozostałych \(= 1\) → jedna jedynka na trzech pozycjach → \(3\) liczby. Dla \(a \geq 3\): suma cyfr już przekracza \(2\), niemożliwe.

Razem: 4 liczby. Żadnej nie pominęliśmy.

Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE — wystarczy systematyczna analiza przypadków i liczenie rozwiązań równania \(a + b + c + d = 2\) z warunkiem \(a \geq 1\).

(Gdyby suma cyfr była większa, przydałyby się kombinacje z powtórzeniami z Działu 13, s. 28.)

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Typowy błąd
A (\(1\))	Uczeń zauważa tylko \(2000\), zapominając, że \(1\) można rozłożyć na dwie cyfry (np. \(1+1\)) lub umieścić gdziekolwiek
B (\(2\))	Uczeń liczy \(2000\) i (np.) tylko \(1100\), nie rozważając wszystkich pozycji jedynki
C (\(3\))	Uczeń liczy tylko liczby zaczynające się od \(1\) (1100, 1010, 1001), zapominając o \(2000\)

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Liczba czterocyfrowa zaczyna się od cyfry co najmniej 1 — nie może zaczynać się od \(0\)! To eliminuje np. \(0200\) (nie jest liczbą czterocyfrową).

⚠️ Uwaga: Suma cyfr \(= 2\) jest bardzo mała, więc przypadków jest mało i łatwo wypisać je wprost — nie ma potrzeby stosowania skomplikowanych wzorów kombinatorycznych.

⚠️ Uwaga: Łatwo zapomnieć o przypadku \(a = 2\) (gdzie pozostałe cyfry są zerami) skupiając się tylko na liczbach zaczynających się od \(1\).

Matura 2011 - Sierpniowa