Poprawna odpowiedź: A

Treść zadania zawiera warunek: \(x < 0\) oraz \(y > 0\). Szukamy wyrażenia, które jest ujemne. Zakładam typowy układ odpowiedzi:

A: \(x \cdot y\)
B: \(x^2 \cdot y^2\)
C: \(-x \cdot y\)
D: \(x^2 + y^2\)

Sposób 1 — Analiza znaków (metoda bezpośrednia)

Kluczowa zasada: znak iloczynu zależy od znaków czynników.

Wiemy, że: \[x < 0 \quad \text{(x jest ujemne)}, \qquad y > 0 \quad \text{(y jest dodatnie)}\]

Sprawdzamy odpowiedź A: \(x \cdot y\)

\[x \cdot y = (\text{liczba ujemna}) \cdot (\text{liczba dodatnia}) = \textbf{liczba ujemna}\]

Zatem \(x \cdot y < 0\). Odpowiedź A jest poprawna.

Sprawdzamy pozostałe dla pewności:

B: \(x^2 \cdot y^2 = (x^2) \cdot (y^2)\)

Kwadrat każdej liczby niezerowej jest dodatni, więc: \[x^2 > 0, \quad y^2 > 0 \implies x^2 \cdot y^2 > 0\]

C: \(-x \cdot y\)

Skoro \(x < 0\), to \(-x > 0\) (zanegowanie ujemnej daje dodatnią). Zatem: \[-x \cdot y = (\text{dodatnia}) \cdot (\text{dodatnia}) > 0\]

D: \(x^2 + y^2\)

\[x^2 > 0, \quad y^2 > 0 \implies x^2 + y^2 > 0\]

Sposób 2 — Weryfikacja na przykładzie liczbowym

Podstawiamy konkretne liczby spełniające warunki, np. \(x = -3\), \(y = 2\):

Wyrażenie	Wartość	Znak
\(A: \; x \cdot y = (-3) \cdot 2\)	\(-6\)	✅ ujemne
\(B: \; x^2 \cdot y^2 = 9 \cdot 4\)	\(36\)	dodatnie
\(C: \; -x \cdot y = 3 \cdot 2\)	\(6\)	dodatnie
\(D: \; x^2 + y^2 = 9 + 4\)	\(13\)	dodatnie

Przykład liczbowy potwierdza: tylko wyrażenie A jest ujemne.

⚠️ Uwaga: Przykład liczbowy to dobra weryfikacja, ale nie dowód — działa tylko wtedy, gdy dobierzemy liczby spełniające warunki zadania. Tutaj jednak znaki wyrażeń są niezależne od konkretnych wartości \(x\) i \(y\) (byle \(x < 0\) i \(y > 0\)), więc wniosek jest ogólny.

Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE — wystarczą podstawowe zasady znaków działań arytmetycznych:

iloczyn \((-)\ \cdot\ (+) < 0\)
kwadrat dowolnej liczby niezerowej \(> 0\)
suma liczb dodatnich \(> 0\)

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Wyrażenie	Typowy błąd ucznia
B	\(x^2 \cdot y^2\)	Uczeń myśli, że skoro \(x\) jest ujemne, to \(x^2\) też — zapomina, że kwadrat zawsze daje wynik nieujemny
C	\(-x \cdot y\)	Uczeń nie zauważa minusa przed \(x\): \(-x\) przy \(x < 0\) to liczba dodatnia
D	\(x^2 + y^2\)	Uczeń patrzy tylko na \(x\) i myśli, że wyrażenie z \(x\) musi być ujemne, ignorując potęgowanie

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: \(x < 0\) nie oznacza, że \(x^2 < 0\)! Kwadrat zawsze jest nieujemny. To jeden z najczęstszych błędów na maturze.

⚠️ Uwaga: Negacja ujemnej liczby daje liczbę dodatnią: jeśli \(x < 0\), to \(-x > 0\). Przy wyrażeniu \(-x \cdot y\) oboje czynniki są dodatnie!

⚠️ Uwaga: Przy sprawdzaniu znaku wyrażeń algebraicznych zawsze zaznacz sobie znak każdego czynnika/składnika osobno, zanim połączysz wynik.

Matura 2010 - Styczniowa