Poprawna odpowiedź: B

Zbiór rozwiązań to \(x \in (-\infty, -5) \cup (0, +\infty)\).

Sposób 1 — analiza znaku iloczynu (metoda tabelki znaków)

Szukamy, dla których \(x\) iloczyn \(x(x+5)\) jest dodatni.

Iloczyn dwóch czynników jest dodatni, gdy oba mają ten sam znak.

Krok 1 — wyznaczamy miejsca zerowe iloczynu:

\[x(x+5) = 0 \implies x = 0 \quad \text{lub} \quad x = -5\]

Dzielą one prostą liczbową na trzy przedziały: \((-\infty, -5)\), \((-5, 0)\), \((0, +\infty)\).

Krok 2 — tabelka znaków:

Przedział	znak \(x\)	znak \(x+5\)	znak \(x(x+5)\)
\(x < -5\)	\(-\)	\(-\)	\(\mathbf{+}\) ✓
\(-5 < x < 0\)	\(-\)	\(+\)	\(-\) ✗
\(x > 0\)	\(+\)	\(+\)	\(\mathbf{+}\) ✓

Krok 3 — nierówność jest ostra (\(>\), bez znaku równości), więc wykluczamy \(x = 0\) i \(x = -5\).

Wynik: \[\boxed{x \in (-\infty, -5) \cup (0, +\infty)}\]

Sposób 2 — metoda paraboli (graficzna)

Rozwijamy wyrażenie: \[x(x+5) = x^2 + 5x\]

To trójmian kwadratowy \(f(x) = x^2 + 5x\) z \(a = 1 > 0\) — parabola otwarta ku górze.

Miejsca zerowe (\(f(x) = 0\)): \[x^2 + 5x = 0 \implies x(x+5) = 0 \implies x_1 = -5, \quad x_2 = 0\]

Skoro parabola otwiera się ku górze, wykres leży powyżej osi \(x\) (czyli \(f(x) > 0\)) poza miejscami zerowymi — na zewnątrz przedziału \([-5, 0]\):

\[x \in (-\infty, -5) \cup (0, +\infty)\]

Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓

Wzory z karty CKE

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7–9) — miejsca zerowe trójmianu kwadratowego: \[f(x) = ax^2 + bx + c, \quad \Delta = b^2 - 4ac\] \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]

Tutaj użyliśmy faktu, że dla \(a > 0\) parabola jest powyżej osi \(x\) dla \(x < x_1\) i \(x > x_2\). Skorzystaliśmy też z prostego rozkładu na czynniki zamiast wyróżnika — szybciej i bezbłędnie.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Typowy błąd
A	Uczeń wypisuje przedział między zerami: \((-5, 0)\) — to właśnie tam iloczyn jest ujemny (minusem). Mylenie \(>\,0\) z \(<\,0\).
C	Pominięcie jednego z przedziałów lub złe odczytanie kierunków nierówności na paraboli.
D	Uwzględnienie \(x = -5\) lub \(x = 0\) w zbiorze (zamknięte końce \(\langle\rangle\)) — ale nierówność jest ostra, więc w zerach \(f(x) = 0\), a nie \(> 0\).

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to wypisanie przedziału między zerami. Zapamiętaj: dla paraboli skierowanej ku górze (\(a>0\)) wyrażenie jest dodatnie na zewnątrz zer, ujemne między zerami.

⚠️ Uwaga: Nierówność ostrą (\(>\)) rozwiązujemy z przedziałami otwartymi — zera \(x = -5\) i \(x = 0\) nie należą do zbioru rozwiązań.

⚠️ Uwaga: Metodę tabelki znaków możesz zastosować do każdego iloczynu/ilorazu — ucz się jej dobrze, przyda się w każdym zadaniu z nierównościami!

Matura 2010 - Sierpniowa