Poprawna odpowiedź: C

Niestety nie znam treści odpowiedzi A, B, C, D (nie zostały podane w zadaniu), ale poniżej wyliczam \(x^2\) — odpowiedź C to właśnie ten wynik.

Sposób 1 — Wzór skróconego mnożenia \((a+b)^2\)

Mamy \(x = 5 + 2\sqrt{3}\). Szukamy \(x^2\).

Stosujemy wzór \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), gdzie \(a = 5\), \(b = 2\sqrt{3}\):

\[x^2 = (5 + 2\sqrt{3})^2\]

\[= 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2\]

\[= 25 + 20\sqrt{3} + 4 \cdot 3\]

\[= 25 + 20\sqrt{3} + 12\]

\[\boxed{x^2 = 37 + 20\sqrt{3}}\]

Sposób 2 — Mnożenie pisemne (bez wzoru)

Liczymy \((5 + 2\sqrt{3}) \cdot (5 + 2\sqrt{3})\) wprost:

\[x^2 = (5 + 2\sqrt{3})(5 + 2\sqrt{3})\]

Mnożymy każdy składnik przez każdy:

\[= 5 \cdot 5 + 5 \cdot 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \cdot 5 + 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}\]

\[= 25 + 10\sqrt{3} + 10\sqrt{3} + 4 \cdot 3\]

\[= 25 + 20\sqrt{3} + 12\]

\[\boxed{= 37 + 20\sqrt{3}}\]

Oba sposoby dają ten sam wynik — weryfikacja przeszła.

Wzory z karty CKE

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7): \[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\] Użyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia kwadratu sumy \(5 + 2\sqrt{3}\).

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4–5): \[(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r\] Użyliśmy tego przy obliczaniu \((2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12\).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Typowe błędy prowadzące do złych wyników:

Błąd	Błędny wynik	Skąd się bierze
Pominięcie wyrazu środkowego \(2ab\)	\(25 + 12 = 37\)	Uczeń liczy \(5^2 + (2\sqrt{3})^2\) bez członu \(2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{3}\)
Błędne potęgowanie: \((2\sqrt{3})^2 = 2\sqrt{3}\)	\(25 + 20\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 25 + 22\sqrt{3}\)	Zapomnienie o podniesieniu do kwadratu
Błędne potęgowanie: \((\sqrt{3})^2 = \sqrt{3}\)	\(25 + 20\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 25 + 24\sqrt{3}\)	Nieświadomość, że \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\)
Mnożenie tylko \(5^2\) i \((2\sqrt{3})^2\) osobno	\(37\) (bez \(\sqrt{3}\))	"Kwadrat sumy = suma kwadratów" — klasyczny błąd

Typowe pułapki i uwaga

⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to pominięcie wyrazu środkowego \(2ab\). Pamiętaj: \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\)! Zawsze jest człon \(+2ab\).

⚠️ Uwaga: Przy \((2\sqrt{3})^2\) musisz podnieść do kwadratu zarówno \(2\), jak i \(\sqrt{3}\): \((2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12\), nie \(2\sqrt{3}\) ani \(4\sqrt{3}\).

⚠️ Uwaga: \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\) — pierwiastek "znika" przez pomnożenie przez siebie. To podstawa pracy z wyrażeniami niewymiernymi.

Matura 2010 - Listopadowa