Poprawna odpowiedź: B — wartość (2).

Sposób 1 — Własność sumy logarytmów

[\log_{4} 8+\log_{4} 2=\log_{4}(8\cdot 2)=\log_{4} 16.] Ponieważ (16=4^{2}): (\log_{4} 16=2).

Sposób 2 — Zamiana na potęgi dwójki

[\log_{4} 8=\log_{4} 2^{3}=\dfrac{3}{2}\log_{4} 4^{1}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{\log_{2} 2}{\log_{2} 4}\cdot 2=\dfrac{3}{2}.] Albo prościej: (\log_{4} 8=\dfrac{\ln 8}{\ln 4}=\dfrac{3\ln 2}{2\ln 2}=\dfrac{3}{2}). Podobnie (\log_{4} 2=\dfrac{1}{2}). Suma: (\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=2).

Weryfikacja

Z definicji: (\log_{4} 16=x\iff 4^{x}=16=4^{2}\Rightarrow x=2) ✓.

Dlaczego pozostałe błędne

A: pomylenie z (\log_{2}) lub niezauważenie wzoru sumy.
C: (\log_{4} 6) — to by było (\log_{4}(3+2\cdot 3)=\log_{4} 6) przy dodawaniu argumentów (błąd).
D: (\log_{4} 10) — suma argumentów (8+2=10) (błąd; sumowanie logarytmów = mnożenie argumentów).

Matura 2010 - Majowa