Poprawna odpowiedź: D

\[|AE| = 12\]

Sposób 1 — Podobieństwo trójkątów (proporcja boków)

Skąd bierzemy podobieństwo?

Ponieważ \(AB \parallel CD\), kąty odpowiednie przy przecięciu przez prostą \(EC\) są równe:

\(\angle EAB = \angle ECD\) (kąty odpowiednie)
\(\angle EBA = \angle EDC\) (kąty odpowiednie)
\(\angle E\) — wspólny

Zatem \(\triangle EAB \sim \triangle ECD\) (cechy kąt-kąt-kąt, czyli AA).

Stosunek podobieństwa: \[k = \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\]

Proporcja odpowiednich boków: \[\frac{|EA|}{|EC|} = \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{3}{4}\]

Oznaczamy \(|EA| = x\). Skoro \(A\) leży między \(E\) i \(C\): \[|EC| = |EA| + |AC| = x + 4\]

Podstawiamy do proporcji: \[\frac{x}{x + 4} = \frac{3}{4}\]

Mnożymy krzyżowo: \[4x = 3(x + 4)\] \[4x = 3x + 12\] \[\boxed{x = 12}\]

Odpowiedź: \(|AE| = 12\).

Sposób 2 — Twierdzenie Talesa (bezpośrednio)

Z twierdzenia Talesa: prosta \(AB \parallel CD\) przecina boki trójkąta \(ECD\), więc:

\[\frac{|EA|}{|AC|} = \frac{|EB|}{|BD|} = \frac{|AB|}{|CD|} \cdot \frac{1}{1 - \frac{|AB|}{|CD|}}\]

Łatwiejszy zapis — Tales mówi wprost o rozdziale boku \(EC\):

\[\frac{|EA|}{|AC|} = \frac{|AB|}{|CD| - |AB|} = \frac{6}{8 - 6} = \frac{6}{2} = 3\]

Zatem: \[|EA| = 3 \cdot |AC| = 3 \cdot 4 = \boxed{12}\]

Weryfikacja: \(|EC| = 12 + 4 = 16\), stosunek \(\frac{|EA|}{|EC|} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{6}{8}\) ✓

Wzory z karty CKE

Dział 10 (Planimetria, s. 18) — Twierdzenie Talesa:

Jeśli prosta równoległa do jednego z boków trójkąta przecina dwa pozostałe boki, to wyznacza na nich odcinki proporcjonalne.

Użyliśmy tego faktu, by zapisać \(\dfrac{|EA|}{|AC|} = \dfrac{|AB|}{|CD| - |AB|}\).

Dział 10 (Planimetria, s. 15–21) — Podobieństwo trójkątów (AA):

Dwa kąty równe ⟹ trójkąty podobne ⟹ odpowiednie boki proporcjonalne: \[\frac{|EA|}{|EC|} = \frac{|EB|}{|ED|} = \frac{|AB|}{|CD|}\]

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Błąd prowadzący do tej odpowiedzi
A	Uczeń bierze \(\\|AE\\| = \\|AC\\| = 4\) — myli odcinek z danym
B	Uczeń liczy \(\\|AE\\| = \\|AB\\| = 6\) — bierze jedną z danych bez rachunku
C	Uczeń oblicza \(\\|AE\\| = \\|CD\\| - \\|AB\\| = 8 - 6 = 2\) albo myli odległość z różnicą podstaw; lub przyjmuje stosunek odwrotnie i liczy \(\frac{4}{3/4} - 4 = \ldots\) błędnie

(Klasyczne wyniki błędnych proporcji: pominięcie, że \(|EC| = |EA| + |AC|\), a nie \(|EC| = |AC|\).)

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd — pisanie \(\dfrac{|EA|}{|AC|} = \dfrac{|AB|}{|CD|}\) zamiast \(\dfrac{|EA|}{|EC|} = \dfrac{|AB|}{|CD|}\). Pamiętaj: w proporcji podobieństwa porównujesz cały bok trójkąta \(ECD\), nie tylko fragment \(AC\)!

⚠️ Uwaga: Sprawdź na rysunku, czy \(A\) leży między \(E\) i \(C\) — bo od tego zależy, czy \(|EC| = |EA| + |AC|\), czy odejmujemy. Tu \(A\) jest między \(E\) i \(C\), więc dodajemy.

⚠️ Uwaga: Stosunek podobieństwa to \(\dfrac{|AB|}{|CD|} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\) — nie odwrotnie! Trójkąt mniejszy (\(EAB\)) jest w liczniku, bo jest bliżej wierzchołka \(E\).

Matura 2009 - Listopadowa