Poprawna odpowiedź: A. ((3x+y)(9x^{2} - 3xy + y^{2}))

Sposób 1 — Wzór na sumę sześcianów

Wzór: (a^{3} + b^{3} = (a+b)(a^{2} - ab + b^{2})).

Podstawiamy (a = 3x), (b = y): [27x^{3} + y^{3} = (3x)^{3} + y^{3} = (3x + y)\bigl((3x)^{2} - (3x)\cdot y + y^{2}\bigr)] [= (3x + y)(9x^{2} - 3xy + y^{2}).]

Sposób 2 — Sprawdzenie przez wymnożenie

[(3x+y)(9x^{2} - 3xy + y^{2})] [= 3x \cdot 9x^{2} - 3x \cdot 3xy + 3x \cdot y^{2} + y \cdot 9x^{2} - y\cdot 3xy + y \cdot y^{2}] [= 27x^{3} - 9x^{2}y + 3xy^{2} + 9x^{2}y - 3xy^{2} + y^{3}] [= 27x^{3} + y^{3} ✓.]

Dlaczego pozostałe są błędne

B, C, D — zaburzają znak w nawiasie lub w drugim czynniku (kwadracie niepełnym różnicy/sumy).
D odpowiada wzorowi na różnicę sześcianów: (a^{3} - b^{3} = (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})), więc gdyby było (27x^{3} - y^{3}), poprawne byłoby ((3x-y)(9x^{2}+3xy+y^{2})) — odpowiedź C by pasowała do tego.

Komentarz mnemotechniczny

SPLA — Suma sześcianów: znak w pierwszym nawiasie Plus, w drugim Luki między (\pm) (plus, minus, plus). Różnica sześcianów: Minus, Plus, Plus, Plus.

Lub: znak w pierwszym nawiasie jest taki sam jak w wyjściowym; znak środkowego wyrazu kwadratu jest przeciwny.

Matura 2009 - Listopadowa